Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\frac{t+2}{t-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(t)=\frac{t+2}{t-2}.
Informações dadas: a função está expressa como uma razão de dois polinômios (numerador t+2 e denominador t-2). O que se pede: encontrar f'(t), a derivada de f em termos de t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas regras básicas de derivação que vamos usar. Isso é importante para fazer na prova sem perder tempo.
  • Derivada de uma soma e constante: \frac{d}{dt}\bigl(g(t)+h(t)\bigr)=\frac{d}{dt}g(t)+\frac{d}{dt}h(t).
\frac{d}{dt}c = 0\quad\text{para constante }c.
  • Derivada de t (a variável) é \frac{d}{dt}t = 1.

Passo 3

Como temos uma razão (quociente) de duas funções, a ferramenta padrão é a Regra do Quociente. Vou escrever a fórmula e explicar cada peça.
Se \displaystyle F(t)=\frac{u(t)}{v(t)} com v(t)\neq 0, então
\frac{d}{dt}F(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^2}.
Aqui:
  • u(t) é o numerador,
  • v(t) é o denominador,
  • u'(t) e v'(t) são as derivadas de u e v, respectivamente.
    A ideia intuitiva: a derivada do quociente combina as derivadas do numerador e do denominador numa forma que lembra uma “regra de produto com correção”.

Passo 4

Identificamos u(t) e v(t) para a nossa função:
u(t)=t+2,\qquad v(t)=t-2.
Agora calculamos u'(t) e v'(t) usando as regras do Passo 2:
u'(t)=\frac{d}{dt}(t+2)=\frac{d}{dt}t+\frac{d}{dt}2=1+0=1,
v'(t)=\frac{d}{dt}(t-2)=\frac{d}{dt}t-\frac{d}{dt}2=1-0=1.

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente:
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^2} =\frac{1\cdot(t-2)-(t+2)\cdot 1}{(t-2)^2}.

Passo 6

Agora simplificamos o numerador passo a passo (não pule etapa na prova):
1\cdot(t-2)-(t+2)\cdot 1 = (t-2)-(t+2).
Distribuindo os sinais:
(t-2)-(t+2)=t-2-t-2.
Os t se cancelam:
t-2-t-2 = -4.
Portanto o numerador é -4. Logo
f'(t)=\frac{-4}{(t-2)^2}.

Passo 7

Para dar mais segurança e mostrar uma alternativa (útil na prova quando você quer simplificar antes de derivar), podemos reescrever a função dividindo o polinômio:
\frac{t+2}{t-2}=\frac{(t-2)+4}{t-2}=1+\frac{4}{t-2}.
Essa técnica de decompor o quociente em uma parte inteira 1 e uma parte simples \frac{4}{t-2} costuma acelerar o cálculo.

Passo 8

Derivando a forma reescrita:
\frac{d}{dt}\left(1+\frac{4}{t-2}\right)=0+\frac{d}{dt}\left(4\cdot (t-2)^{-1}\right).
Usamos a regra da potência e a constante multiplicativa: \frac{d}{dt}(t-2)^{-1}=-1\cdot(t-2)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(t-2)=-1\cdot(t-2)^{-2}\cdot 1.
Assim
\frac{d}{dt}\left(4\cdot (t-2)^{-1}\right)=4\cdot\bigl(-1\bigr)\cdot(t-2)^{-2}=-\frac{4}{(t-2)^2}.
Confere com o resultado obtido pela Regra do Quociente.

Passo 9

Conclusão: a derivada é
f'(t)=-\frac{4}{(t-2)^2}.
Isso vale para todo t\neq 2 (já que a função original e o denominador da derivada não estão definidos em t=2).

Resposta

f'(t)=-\frac{4}{(t-2)^2}

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