Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função está expressa como uma razão de dois polinômios (numerador
e denominador
). O que se pede: encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas regras básicas de derivação que vamos usar. Isso é importante para fazer na prova sem perder tempo.
- Derivada de uma soma e constante:
- Derivada de
(a variável) é
Passo 3
Como temos uma razão (quociente) de duas funções, a ferramenta padrão é a Regra do Quociente. Vou escrever a fórmula e explicar cada peça.
Se
com
, então
Aqui:
-
é o numerador, -
é o denominador, -
e são as derivadas de e , respectivamente.
A ideia intuitiva: a derivada do quociente combina as derivadas do numerador e do denominador numa forma que lembra uma “regra de produto com correção”.
Passo 4
Identificamos
e
para a nossa função:
Agora calculamos
e
usando as regras do Passo 2:
Passo 5
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 6
Agora simplificamos o numerador passo a passo (não pule etapa na prova):
Distribuindo os sinais:
Os
se cancelam:
Portanto o numerador é
. Logo
Passo 7
Para dar mais segurança e mostrar uma alternativa (útil na prova quando você quer simplificar antes de derivar), podemos reescrever a função dividindo o polinômio:
Essa técnica de decompor o quociente em uma parte inteira
e uma parte simples
costuma acelerar o cálculo.
Passo 8
Derivando a forma reescrita:
Usamos a regra da potência e a constante multiplicativa:
.
Assim
Assim
Confere com o resultado obtido pela Regra do Quociente.
Passo 9
Conclusão: a derivada é
Isso vale para todo
(já que a função original e o denominador da derivada não estão definidos em
).