Verifique se as seguintes funções são harmônicas e ache uma de suas conjugadas
u(x, y)=sinh (x) sin (y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
u(x,y)=sinh(x)sin(y)
é harmônica e, depois, encontrar uma função v(x,y) conjugada a u, isto é, tal que f(z)=u+iv seja holomorfa. Para isso vamos usar (i) a equação de Laplace De<a u=0 e (ii) as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de u:
partial upartial x=cosh(x)sin(y)
partial^2 upartial x^2=sinh(x)sin(y)
partial upartial y=sinh(x)cos(y)
partial^2 upartial y^2=-sinh(x)sin(y)
Somando,
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2 =sinh(x)sin(y)-sinh(x)sin(y)=0
Logo De<a u=0 e u é harmônica.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann são
partial upartial x=partial vpartial y
e
partial upartial y=-partial vpartial x.
Da primeira:
partial vpartial y =cosh(x)sin(y),
logo, integrando em y,
v(x,y)=-cosh(x)cos(y)+phi(x),
em que phi é função a determinar.

Passo 4

Da segunda equação de Cauchy–Riemann temos
-partial vpartial x =partial upartial y =sinh(x)cos(y)
Mas
partial vpartial x =-sinh(x)cos(y)+phi'(x)
Igualando -vx=sinh(x)cos(y) a -sinh(x)cos(y)+phi'(x) obtém-se phi'(x)=0, ou seja, phi(x)=C constante.

Resposta

u é harmônica e uma conjugada é, por exemplo,
v(x,y)=-cosh(x)cos(y)

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