Verifique se as seguintes funções são harmônicas e ache uma de suas conjugadas
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é harmônica e, depois, encontrar uma função
conjugada a
, isto é, tal que
seja holomorfa. Para isso vamos usar (i) a equação de Laplace
e (ii) as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de segunda ordem de
:
Somando,
Logo
e
é harmônica.
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann são
e
.
Da primeira:
e
Da primeira:
logo, integrando em
,
em que
é função a determinar.
Passo 4
Da segunda equação de Cauchy–Riemann temos
Mas
Igualando
a
obtém-se
, ou seja,
constante.