Encontre a derivada das seguintes funções:
h(z)=\int_{z}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sec} ^{2} t} dt

Passo 1

O enunciado define
h(z) \;=\;\int_{z}^{\pi} \sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}t}\,dt
e pede h'(z). Isso envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra de Leibniz para limites dependentes da variável.

Passo 2

Seja f(t)=\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}t}. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que
\frac{d}{dz}\!\Bigl(\!\int_{a}^{z}f(t)\,dt\Bigr)=f(z).
Como aqui o limite inferior é z e o superior é a constante \pi, vale a regra
\frac{d}{dz}\!\Bigl(\!\int_{z}^{\pi}f(t)\,dt\Bigr)=-\,f(z).
Logo,
h'(z)=-\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}z}.

Resposta

h'(z)=-\sqrt{1+\operatorname{sec}^{2}z}

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