Encontre a derivada das seguintes funções:
h(t)=\int_{t{2}-1}{2} \frac{2 s-3}{s^{2}+25} ds

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(t)=\int_{t^{2}-1}^{2}\frac{2s-3}{s^{2}+25}\,ds
Aqui vamos usar duas ideias: o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz como derivar uma integral cujos limites dependem de t, e a Regra de Cadeia, pois o limite inferior é a(t)=t^2-1.

Passo 2

Segundo a regra de derivação de uma integral com limites variáveis, se
H(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}f(s)\,ds,
então
H'(t)=f\bigl(b(t)\bigr)\,b'(t)\;-\;f\bigl(a(t)\bigr)\,a'(t).
No nosso caso, b(t)=2 é constante (logo b'(t)=0) e a(t)=t^2-1.

Passo 3

Como b'(t)=0, só resta o termo do limite inferior. Tomando
f(s)=\frac{2s-3}{s^{2}+25},
temos
h'(t)=-\,f\bigl(t^2-1\bigr)\,\bigl(t^2-1\bigr)'.

Passo 4

Calculamos agora \bigl(t^2-1\bigr)'=2t. Substituindo em h'(t):
h'(t)=-\,\frac{2\,(t^2-1)-3}{(t^2-1)^2+25}\;\times2t.

Passo 5

No numerador, 2(t^2-1)-3=2t^2-2-3=2t^2-5. Assim
h'(t)=-2t\;\frac{2t^2-5}{(t^2-1)^2+25}.

Resposta

h'(t)=-2t\,\frac{2t^2-5}{(t^2-1)^2+25}.

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