Encontre a derivada das seguintes funções:
h(x)=\int_{1}^{x} \ln (t) dt

Passo 1

O enunciado dá a função
\displaystyle h(x)=\int_{1}^{x}\ln(t)\,dt
e pede a derivada h'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada e integral definida.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se f é contínua em um intervalo que contém a e x, então a função
\displaystyle H(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
é diferenciável e
H'(x)=f(x).

Passo 3

Aqui f(t)=\ln(t), que é contínua para t>0. Como o intervalo de integração [1,x] está dentro de (0,\infty) sempre que x>0, podemos aplicar o teorema e obter
h'(x)=\ln(x).

Resposta

\displaystyle h'(x)=\ln(x)

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