Resumindo o enunciado: precisamos calcular as seguintes integrais indefinidas \displaystyle\int x^{2}\cos(3x)\,dx, \displaystyle\int x\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx, \displaystyle\int e^{2x}\sin(3x)\,dx, \displaystyle\int x\ln(1+x)\,dx, \displaystyle\int \frac{x}{e^{2x}}\,dx, \displaystyle\int \frac{(\ln x)^{2}}{x^{3}}\,dx, \displaystyle\int \cos\theta\,[\cos(\sin\theta)]^{3}\,d\theta, \displaystyle\int \sin(3x)\cos x\,dx.
Os principais métodos serão: integração por partes, substituição trigonométrica ou exponencial, e as fórmulas de soma de ângulos.
Passo 2
Para \displaystyle\int x^{2}\cos(3x)\,dx usamos duas vezes partes.
Escolhemos u=x^{2}, dv=\cos(3x)\,dx, daí du=2x\,dx, v=\tfrac{\sin(3x)}{3}.
Então
\int x^{2}\cos(3x)\,dx = \frac{x^{2}\sin(3x)}{3} + \frac{2x\cos(3x)}{9} - \frac{2\sin(3x)}{27} + C.
Passo 3
Para \displaystyle\int x\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx aplicamos partes com u=x, dv=\operatorname{sec}^{2}(2x)\,dx.
Então du=dx, v=\tfrac{\tan(2x)}{2}, e
Para \displaystyle\int \frac{x}{e^{2x}}\,dx = \int x e^{-2x}\,dx usamos partes com u=x, dv=e^{-2x}\,dx.
Dá du=dx, v=-\tfrac{e^{-2x}}{2},
\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{x e^{-2x}}{2} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\frac{x e^{-2x}}{2} - \frac{e^{-2x}}{4} + C = -\frac{2x+1}{4}\,e^{-2x} + C.
Passo 7
Para \displaystyle\int \frac{(\ln x)^{2}}{x^{3}}\,dx fazemos t=\ln x, dt=\frac{dx}{x}, e x^{-3}dx=x^{-2}\cdot\frac{dx}{x}=e^{-2t}dt.
Assim reduz-se a \displaystyle\int t^{2}e^{-2t}\,dt, que por partes duas vezes fornece
\int t^{2}e^{-2t}\,dt = -\frac{2t^{2}+2t+1}{4}\,e^{-2t} + C.
Voltando a x, e^{-2t}=x^{-2} e t=\ln x,
\int \frac{(\ln x)^{2}}{x^{3}}\,dx = -\,\frac{2(\ln x)^{2}+2\ln x+1}{4\,x^{2}} + C.
Passo 8
Para \displaystyle\int \cos\theta\,[\cos(\sin\theta)]^{3}\,d\theta fazemos u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta.
A integral vira \displaystyle\int \cos^{3}(u)\,du=\int(1-\sin^{2}u)\cos u\,du.
Com w=\sin u, dw=\cos u\,du, obtemos