Encontre a derivada das seguintes funções inversas:
y=sen^-1(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função inversa $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é $ \sin^{-1}(x) $. Essa função é conhecida como arco seno ou função inversa do seno. A derivada de $ \sin^{-1}(x) $ é:
sin^-1(x)

Passo 3

Agora, temos a função composta $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $. Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se $ y = f(g(x)) $, então:
y = sin^-1(x^2)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
f(u) = sin^-1(u) onde u = x^2
Primeiro, encontramos a derivada de $ f(u) $ em relação a $ u $:
f(u)

Passo 5

Em seguida, encontramos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando $ f’(u) $ por $ \frac{du}{dx} $:
f'(u)
Simplificando a expressão dentro da raiz:
dudx

Passo 7

Portanto, a derivada fica:
dydx = 2xraiz1 - x^4

Resposta

A derivada da função $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $ é:
y = sin^-1(x^2)

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