Encontre a derivada das seguintes funções inversas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função inversa $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções inversas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é $ \sin^{-1}(x) $. Essa função é conhecida como arco seno ou função inversa do seno. A derivada de $ \sin^{-1}(x) $ é:
Passo 3
Agora, temos a função composta $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $. Para encontrar a derivada dessa função, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que se $ y = f(g(x)) $, então:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função:
Primeiro, encontramos a derivada de $ f(u) $ em relação a $ u $:
Passo 5
Em seguida, encontramos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando $ f’(u) $ por $ \frac{du}{dx} $:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Portanto, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função $ y = \sin{-1}\left(x{2}\right) $ é: