Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{5}-7\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \,f(x)=\operatorname{sen}\!\left(x^{5}-7\right).
Informações dadas: a função é a função seno aplicada à expressão \,x^{5}-7. O objetivo é calcular f'(x).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma função composta — ou seja, uma função dentro de outra — usamos a regra da cadeia. Vou escrever a regra da cadeia de forma clara:
\text{Se }h(x)=g\big(u(x)\big)\text{ então }h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).ã
Explicando cada símbolo:
  • h(x) é a função composta que queremos derivar.
  • g é a função externa (a que recebe o resultado de u(x)).
  • u(x) é a função interna (a que está dentro de g).
  • g'\big(u(x)\big) significa derivar g em relação ao seu argumento e depois substituir u(x).
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso:
  • A função externa é g(t)=\operatorname{sen}(t), onde t representa o argumento interno.
  • A função interna é u(x)=x^{5}-7.
Precisamos de duas coisas: a derivada de g em termos de t e a derivada de u em termos de x.

Passo 4

Derivada da função externa:
A derivada da função seno em relação ao seu argumento é a cosseno. Escrevendo isso:
\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t).
Aqui, \cos(t) é a função cosseno avaliada em t.

Passo 5

Derivada da função interna:
A função interna é u(x)=x^{5}-7. Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de que a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\big(x^{5}-7\big)=\frac{d}{dx}x^{5}-\frac{d}{dx}7=5x^{4}-0=5x^{4}.
Explicando: para \,x^{5} multiplica-se o expoente pela potência e subtrai-se 1 no expoente, gerando 5x^{4}.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia. Usando g'\big(u(x)\big)=\cos\big(u(x)\big) e u'(x)=5x^{4}, obtemos:
f'(x)=\cos\big(x^{5}-7\big)\cdot 5x^{4}.
É comum escrever multiplicando o fator numérico à frente:
f'(x)=5x^{4}\cos\big(x^{5}-7\big).

Resposta

f'(x)=5x^{4}\cos\big(x^{5}-7\big)

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