Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a função seno aplicada à expressão . O objetivo é calcular
.
Informações dadas: a função é a função seno aplicada à expressão
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando temos uma função composta — ou seja, uma função dentro de outra — usamos a regra da cadeia. Vou escrever a regra da cadeia de forma clara:
Explicando cada símbolo:
-
é a função composta que queremos derivar. -
é a função externa (a que recebe o resultado de ). -
é a função interna (a que está dentro de ). -
significa derivar em relação ao seu argumento e depois substituir . -
é a derivada da função interna em relação a .
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso:
- A função externa é
, onde representa o argumento interno. - A função interna é
.
Precisamos de duas coisas: a derivada de
em termos de
e a derivada de
em termos de
.
Passo 4
Derivada da função externa:
A derivada da função seno em relação ao seu argumento é a cosseno. Escrevendo isso:
A derivada da função seno em relação ao seu argumento é a cosseno. Escrevendo isso:
Aqui,
é a função cosseno avaliada em
.
Passo 5
Derivada da função interna:
A função interna é . Usamos a regra do poder (power rule) e a regra de que a derivada de uma constante é zero:
A função interna é
Explicando: para
multiplica-se o expoente pela potência e subtrai-se 1 no expoente, gerando
.
Passo 6
Agora juntamos tudo pela regra da cadeia. Usando
e
, obtemos:
É comum escrever multiplicando o fator numérico à frente: