Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{\left(2 x^{5}-7\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f e pede sua derivada:
  • Função dada: f(x)=e^{\left(2 x^{5}-7\right)}.
  • Pedido: encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Ideia principal (fórmulas que vamos usar) — duas coisas que preciso te lembrar bem:
  1. A derivada da função exponencial básica é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.
Isto significa que a exponencial é especial: ao derivar, ela se reproduce.
  1. Para funções compostas (quando uma função está dentro de outra) usamos a regra da cadeia: se y=g(h(x)), então
\frac{dy}{dx}=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
No nosso caso g(u)=e^{u} e u=h(x)=2x^{5}-7. Aplicando a regra da cadeia, a derivada de e^{u(x)} é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando em palavras: deriva-se a função externa e^{(\cdot)} avaliando-a na interna u(x), e multiplica-se pela derivada da interna u'(x).

Passo 3

Agora calculemos a derivada da função interna u(x)=2x^{5}-7.
  • Derivada de 2x^{5}: usar regra do poder com constante multiplicativa. Para x^{5} vale \dfrac{d}{dx}x^{5}=5x^{4}; multiplicando pela constante 2 obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{5}\bigr)=2\cdot 5x^{4}=10x^{4}.
  • Derivada de -7 (constante) é 0.
Portanto
u'(x)=10x^{4}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=e^{u(x)} com u'(x)=10x^{4}, obtemos
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{\left(2x^{5}-7\right)}\cdot 10x^{4}.
Organizando de forma usual,
f'(x)=10x^{4}\,e^{\left(2x^{5}-7\right)}.

Resposta

f'(x)=10x^{4}e^{\left(2x^{5}-7\right)}

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