Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas:
- A função escrita é
. - Vou interpretar essa notação como
, isto é, (ou seja, primeiro calcula-se , depois aplica-se e por fim eleva-se o resultado ao cubo). - O que se pede: determinar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Identificar a estrutura composta da função para aplicar a derivação em etapas.
Defino funções auxiliares (isso facilita aplicar a regra do composto):
Então podemos escrever
Isso mostra que
é uma composição tripla:
.
Passo 3
Lembrete didático: regra da cadeia (cadeia de natal da derivada).
Se
, a regra da cadeia diz que
Em palavras: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna. Aqui temos três níveis, então aplicamos a regra duas vezes em cadeia:
Explico cada símbolo:
-
é a derivada da função interior em relação a . -
é a derivada da próxima função em relação à sua variável (aqui chamada ), e avalia-se em . -
é a derivada da função externa em relação à sua variável , e avalia-se em .
Um exemplo rápido e concreto (curto): se
, o procedimento é idêntico ao que vamos fazer.
Passo 4
Calcular as derivadas das funções auxiliares.
Primeiro:
Segundo:
Logo, avaliando em
:
Terceiro:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora multiplico os fatores segundo a regra da cadeia:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 6
Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos:
Passo 7
Checagem rápida (sanidade): em
temos
e a derivada encontrada dá
, consistente com derivada nula em
.
Dica prática para prova: sempre identifique as camadas (potência externa, função trigonométrica, polinômio interno) e aplique a regra da cadeia nível a nível; escreva as derivadas de cada nível antes de multiplicar — assim evita erros de sinais/fatores.