Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{3} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função f(x)=\operatorname{sen}^{3} x^{3}.
Informações dadas:
  • A função escrita é f(x)=\operatorname{sen}^{3} x^{3}.
  • Vou interpretar essa notação como \bigl(\sin(x^{3})\bigr)^{3}, isto é, f(x)=\sin^{3}\bigl(x^{3}\bigr) (ou seja, primeiro calcula-se x^{3}, depois aplica-se \sin e por fim eleva-se o resultado ao cubo).
  • O que se pede: determinar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Identificar a estrutura composta da função para aplicar a derivação em etapas.
Defino funções auxiliares (isso facilita aplicar a regra do composto):
u(x)=x^{3}, \qquad v(u)=\sin(u), \qquad w(v)=v^{3}.
Então podemos escrever
f(x)=w\bigl(v(u(x))\bigr).
Isso mostra que f é uma composição tripla: f=w\circ v\circ u.

Passo 3

Lembrete didático: regra da cadeia (cadeia de natal da derivada).
Se y=g(h(x)), a regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Em palavras: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna. Aqui temos três níveis, então aplicamos a regra duas vezes em cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(w(v(u(x)))\bigr)=w'\bigl(v(u(x))\bigr)\cdot v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explico cada símbolo:
  • u'(x) é a derivada da função interior u em relação a x.
  • v'(u) é a derivada da próxima função v em relação à sua variável (aqui chamada u), e avalia-se em u(x).
  • w'(v) é a derivada da função externa w em relação à sua variável v, e avalia-se em v(u(x)).
Um exemplo rápido e concreto (curto): se h(x)=(\cos(x^2))^3, o procedimento é idêntico ao que vamos fazer.

Passo 4

Calcular as derivadas das funções auxiliares.
Primeiro:
u(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=3x^{2}.
Segundo:
v(u)=\sin(u)\quad\Rightarrow\quad v'(u)=\cos(u).
Logo, avaliando em u(x):
v'\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(u(x)\bigr)=\cos\bigl(x^{3}\bigr).
Terceiro:
w(v)=v^{3}\quad\Rightarrow\quad w'(v)=3v^{2}.
Avaliando em v(u(x))=\sin\bigl(x^{3}\bigr):
w'\bigl(v(u(x))\bigr)=3\bigl(\sin\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)^{2}=3\sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 5

Agora multiplico os fatores segundo a regra da cadeia:
f'(x)=w'\bigl(v(u(x))\bigr)\cdot v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=\bigl(3\sin^{2}(x^{3})\bigr)\cdot\bigl(\cos(x^{3})\bigr)\cdot\bigl(3x^{2}\bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão multiplicando os coeficientes numéricos:
f'(x)=3\cdot 3\; x^{2}\; \sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cos\bigl(x^{3}\bigr)=9x^{2}\sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cos\bigl(x^{3}\bigr).

Passo 7

Checagem rápida (sanidade): em x=0 temos f(x)=\sin^{3}(0)=0 e a derivada encontrada dá f'(0)=9\cdot 0^{2}\cdot\sin^{2}(0)\cos(0)=0, consistente com derivada nula em 0.
Dica prática para prova: sempre identifique as camadas (potência externa, função trigonométrica, polinômio interno) e aplique a regra da cadeia nível a nível; escreva as derivadas de cada nível antes de multiplicar — assim evita erros de sinais/fatores.

Resposta

f'(x)=9x^{2}\sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cos\bigl(x^{3}\bigr)

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