Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{\operatorname{sen}\left(7 x^{3}-3\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
  • Função dada: f(x)=e^{\operatorname{sen}\left(7 x^{3}-3\right)}.
  • Pedido: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Lembrete importante (regra que vamos usar): regra da cadeia.
  • Se uma função é composição de duas funções, isto é, \varphi(x)=g(h(x)), então a derivada é
\varphi'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Explicando de maneira simples: primeiro deriva-se a função externa g avaliando-a na interna h(x), e depois multiplica-se pelo fator que vem da variação da interna h(x). É como desembrulhar camadas: cada camada contribui com sua derivada.

Passo 3

Identificar as camadas (três níveis aqui):
  • Camada externa: G(t)=e^{t}. Para essa, G'(t)=e^{t}.
  • Camada do meio: H(u)=\operatorname{sen}(u). Para essa, H'(u)=\cos(u).
  • Camada interna: I(x)=7x^{3}-3. Para essa, usamos a regra das potências: a derivada de x^{3} é 3x^{2}, então
I'(x)=7\cdot 3x^{2}=21x^{2},
porque a constante 7 multiplica a derivada de x^3 e a derivada de -3 é 0.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia de forma encadeada (três camadas):
  • Primeiro, derive a externa G e avalie na composição das camadas internas: G'(H(I(x)))=e^{\operatorname{sen}(7x^{3}-3)}.
  • Depois multiplica-se por H'(I(x)), que é \cos(7x^{3}-3).
  • Finalmente multiplica-se por I'(x), que é 21x^{2}.
Portanto, juntando os fatores (sem pular passos):
f'(x)=e^{\operatorname{sen}(7x^{3}-3)}\cdot \cos(7x^{3}-3)\cdot 21x^{2}.

Passo 5

Dica prática para a prova: ao ver e^{\text{algo}} com algo'' composto, sempre pense na cadeia: deriva-se \(e^{(\cdot)}\) que fica igual a \(e^{(\cdot)}\) vezes a derivada do algo’’. Se esse ``algo’’ for seno de outra expressão, aplica-se de novo a cadeia (deriva seno → cosseno × derivada da expressão interna). Escreva cada camada separadamente no rascunho para evitar erros e simplifique no final.

Resposta

f'(x)=21x^{2}\,e^{\operatorname{sen}\left(7x^{3}-3\right)}\cos\left(7x^{3}-3\right)

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