Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
- Função dada:
. - Pedido: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Lembrete importante (regra que vamos usar): regra da cadeia.
- Se uma função é composição de duas funções, isto é,
, então a derivada é
Explicando de maneira simples: primeiro deriva-se a função externa
avaliando-a na interna
, e depois multiplica-se pelo fator que vem da variação da interna
. É como desembrulhar camadas: cada camada contribui com sua derivada.
Passo 3
Identificar as camadas (três níveis aqui):
- Camada externa:
. Para essa, . - Camada do meio:
. Para essa, . - Camada interna:
. Para essa, usamos a regra das potências: a derivada de é , então
porque a constante
multiplica a derivada de
e a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia de forma encadeada (três camadas):
- Primeiro, derive a externa
e avalie na composição das camadas internas: . - Depois multiplica-se por
, que é . - Finalmente multiplica-se por
, que é .
Portanto, juntando os fatores (sem pular passos):
Passo 5
Dica prática para a prova: ao ver
com
algo'' composto, sempre pense na cadeia: deriva-se \(e^{(\cdot)}\) que fica igual a \(e^{(\cdot)}\) vezes a derivada do algo’’. Se esse ``algo’’ for seno de outra expressão, aplica-se de novo a cadeia (deriva seno → cosseno × derivada da expressão interna). Escreva cada camada separadamente no rascunho para evitar erros e simplifique no final.