Encontre a derivada usando a definição
g(x)=3+2 x1-2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
g(x) = 3 + 2x1 - 2x
usando a definição de derivada
g'(x) = limh to 0 g(x+h) - g(x)h
Vamos aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos g(x+h):
g(x+h) = 3 + 2(x+h)1 - 2(x+h) = 3 + 2x + 2h1 - 2x - 2h
Então o quociente de diferença é
g(x+h) - g(x)h = 3 + 2x + 2h1 - 2x - 2h ;-; 3 + 2x1 - 2xh

Passo 3

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
g(x+h) - g(x)h = 1h, (3 + 2x + 2h)(1 - 2x) - (3 + 2x)(1 - 2x - 2h) (1 - 2x - 2h)(1 - 2x)
Expandindo o numerador:
(3+2x+2h)(1-2x) = 3 -4x -4x^2 + 2h -4xh,
(3+2x)(1-2x-2h) = 3 -4x -4x^2 -6h -4xh
Subtraindo essas expressões, a única parte que sobrevive é
l(3 -4x -4x^2 + 2h -4xhr) -l(3 -4x -4x^2 -6h -4xhr) = 8h

Passo 4

Assim o quociente fica
g(x+h) - g(x)h = 8hh,(1 - 2x - 2h)(1 - 2x) = 8(1 - 2x - 2h)(1 - 2x)
Fazendo h to 0, obtemos
g'(x) = limh to 0 8(1 - 2x - 2h)(1 - 2x) = 8(1 - 2x)^2

Resposta

g'(x) = 8(1 - 2x)^2

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