Encontre a derivada de y em relação à variável apropriada.
y=\operatorname{arc} \cos \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{arccos}\bigl(x^{2}\bigr)
em relação à variável x. O conteúdo necessário é a derivada da função composta envolvendo a função inversa trigonométrica \operatorname{arccos} e a regra da cadeia.

Passo 2

Lembramos que, para uma função u = u(x), vale
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr] = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 3

Definimos u = x^{2}. Então, pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr]\cdot\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr].
Como \frac{d}{dx}[x^{2}]=2x e u^{2}=(x^{2})^{2}=x^{4}, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{4}}}\cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^{4}}}.

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