Encontre a derivada de y em relação à variável apropriada.
y=\operatorname{arcsen} \sqrt{2} t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y em relação à variável independente quando
y = \operatorname{arcsen}\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
O conteúdo utilizado será a derivada da função inversa \arcsin (ou \operatorname{arcsen}) e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u = \sqrt{2}\,t
para facilitar a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

A derivada de y em relação a u é
\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 4

A derivada de u em relação a t é
\frac{du}{dt} = \sqrt{2}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, obtemos
\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dt} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\,\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - (\sqrt{2}\,t)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - 2\,t^{2}}}.

Resposta

\frac{dy}{dt} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - 2\,t^{2}}}.

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