Existe k \in \mathbb{R} tal que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \cos (1 / x) & \text { se } x \neq 0 \\\ k & \text { se } x=0\end{array}\right. seja contínua em \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado define a função
\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2}\cos\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\k,&x=0,\end{cases}
e pergunta se existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em \mathbb{R}. O único ponto crítico é x=0, pois para x\neq0 a expressão x^{2}\cos(1/x) já é contínua.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=0, precisamos que
\lim_{x\to0}f(x) = \lim_{x\to0}x^{2}\cos\bigl(1/x\bigr)
exista e seja igual a f(0)=k.

Passo 3

Como -1\le\cos(1/x)\le1 para todo x\neq0, multiplicando por x^2\ge0 obtemos
-x^2 \;\le\; x^2\cos\bigl(1/x\bigr)\;\le\; x^2.
Como
\displaystyle \lim_{x\to0}(-x^2)=0 e \displaystyle \lim_{x\to0}x^2=0,
pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{x\to0}x^2\cos\bigl(1/x\bigr)=0.

Passo 4

Para que f seja contínua em 0 é necessário e suficiente ter
k=f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0.

Resposta

O valor de k que garante continuidade em \mathbb{R} é
k=0.

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