Encontre a derivada de y em relação à variável apropriada.
y=\operatorname{arcsec} 5 s

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \operatorname{arcsec}(5s)
em relação à variável s. O conteúdo aqui é a derivada de uma função inversa trigonométrica, mais especificamente da arcsecante.

Passo 2

Lembrando a fórmula geral para a derivada de y = \operatorname{arcsec}(u) em que u = u(s):
\frac{dy}{ds} = \frac{d}{ds}\bigl[\operatorname{arcsec}(u)\bigr] = \frac{u'}{\lvert u\rvert\,\sqrt{u^{2} - 1}}.

Passo 3

Aqui temos u(s) = 5s. Portanto, calculamos
u' = \frac{d}{ds}(5s) = 5.

Passo 4

Substituindo u = 5s e u' = 5 na fórmula, obtemos
\frac{dy}{ds} = \frac{5}{\lvert 5s\rvert \,\sqrt{(5s)^{2} - 1}} = \frac{5}{\lvert 5s\rvert \,\sqrt{25s^{2} - 1}}.

Passo 5

Para simplificar, note que \lvert 5s\rvert = 5\,\lvert s\rvert. Logo
\frac{dy}{ds} = \frac{5}{5\,\lvert s\rvert\,\sqrt{25s^{2}-1}} = \frac{1}{\lvert s\rvert\,\sqrt{25s^{2}-1}}.

Resposta

\frac{dy}{ds} = \frac{1}{\lvert s\rvert\,\sqrt{25s^{2}-1}}.

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