- Encontre a derivada de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função é uma exponencial com expoente dependente de
: o expoente é . - Precisamos calcular a derivada da composição
.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar primeiro: a derivada de uma exponencial composta.
Se , então vale a regra da cadeia
Se
Explicando de forma simples: a derivada da função exponencial mantém a própria exponencial e multiplica pela derivada do expoente
. Exemplo rápido: se
então
.
Passo 3
Identificar o expoente e preparar para derivá-lo. Aqui
.
Para calcular vamos usar a regra do produto, pois
é produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz
Para calcular
No nosso caso
e precisamos calcular
.
Passo 4
Calcular
com a regra da cadeia. Temos
. A derivada da função
em relação a
é
, e por cadeia multiplica-se pela derivada do interno
, que é
. Portanto
Explicando: primeiro derivou-se a coseno para obter
, depois multiplicou-se pelo fator 3 vindo do argumento
.
Passo 5
Agora aplicar a regra do produto para obter
. Usando
,
e
,
Simplificando a escrita:
Passo 6
Voltar à derivada da exponencial usando o resultado de
. Pela regra da cadeia (Passo 2),
Substituindo
e
,
Essa é a forma final e já é bem simples: a exponencial original multiplicada pela derivada do expoente.
Passo 7
Checagem rápida (intuitiva): se o expoente fosse apenas
(ou seja, se
fosse constante 1), a fórmula reduziria para
, coerente com o que se espera. Aqui a presença de
e do termo
vem exatamente das regras da cadeia e do produto que aplicamos.