1. Encontre a derivada de y=e^{x \cos (3 x)}.

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{x\cos(3x)} e pede a sua derivada y'.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma exponencial com expoente dependente de x: o expoente é u(x)=x\cos(3x).
  • Precisamos calcular a derivada da composição e^{u(x)}.

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar primeiro: a derivada de uma exponencial composta.
Se y=e^{u(x)}, então vale a regra da cadeia
y' = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando de forma simples: a derivada da função exponencial mantém a própria exponencial e multiplica pela derivada do expoente u(x). Exemplo rápido: se u(x)=2x então \frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2.

Passo 3

Identificar o expoente e preparar para derivá-lo. Aqui u(x)=x\cos(3x).
Para calcular u'(x) vamos usar a regra do produto, pois u(x) é produto de duas funções: f(x)=x e g(x)=\cos(3x). A regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
No nosso caso f'(x)=1 e precisamos calcular g'(x).

Passo 4

Calcular g'(x) com a regra da cadeia. Temos g(x)=\cos(3x). A derivada da função \cos(v) em relação a v é -\sin(v), e por cadeia multiplica-se pela derivada do interno v=3x, que é 3. Portanto
g'(x)=\frac{d}{dx}\cos(3x) = -\sin(3x)\cdot 3 = -3\sin(3x).
Explicando: primeiro derivou-se a coseno para obter -\sin, depois multiplicou-se pelo fator 3 vindo do argumento 3x.

Passo 5

Agora aplicar a regra do produto para obter u'(x). Usando f'(x)=1, g(x)=\cos(3x) e g'(x)=-3\sin(3x),
u'(x)=1\cdot\cos(3x) + x\cdot\big(-3\sin(3x)\big).
Simplificando a escrita:
u'(x)=\cos(3x)-3x\sin(3x).

Passo 6

Voltar à derivada da exponencial usando o resultado de u'(x). Pela regra da cadeia (Passo 2),
y' = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x\cos(3x) e u'(x)=\cos(3x)-3x\sin(3x),
y' = e^{x\cos(3x)}\big(\cos(3x)-3x\sin(3x)\big).
Essa é a forma final e já é bem simples: a exponencial original multiplicada pela derivada do expoente.

Passo 7

Checagem rápida (intuitiva): se o expoente fosse apenas x (ou seja, se \cos(3x) fosse constante 1), a fórmula reduziria para \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, coerente com o que se espera. Aqui a presença de \cos(3x) e do termo -3x\sin(3x) vem exatamente das regras da cadeia e do produto que aplicamos.

Resposta

y' = e^{x\cos(3x)}\big(\cos(3x)-3x\sin(3x)\big)

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