(*) Prove que
integral1^a 1t d t+integral1^b 1t d t=integral1^a b 1t d t
Sugestão: Esta igualdade pode ser escrita integral1^a 1t d t=integralb^a b 1t d t. Qualquer partição P=t0, cdots, tn de [1, a] dá origem a uma partição P^prime=b t0, cdots, b tn de [b, a b], e conversamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
integral1^a1t,dt+integral1^b1t,dt=integral1^ab1t,dt
O conteúdo aqui é entender a propriedade aditiva da integral de Riemann e usar uma transformação de partição para provar que
integralb^ab1t,dt=integral1^a1t,dt

Passo 2

Vamos construir a correspondência entre partições de [1,a] e de [b,ab]. Seja
P=,t0,t1,dots,tn, 1=t0<t1<cdots<tn=a
uma partição de [1,a]. Definimos a partição
P'=,b,t0,;b,t1,;dots,;b,tn, b,t0=b<cdots<b,tn=ab
de [b,ab].

Passo 3

Em cada subintervalo [ti-1,ti] escolhemos um ponto de amostragem xiin[ti-1,ti]. Então a soma de Riemann para integral1^atfrac1t,dt é
S(P)=sumi=1^n 1xi(ti-ti-1)
Para integralb^abtfrac1t,dt tomamos x'i=b,xiin[b,ti-1,b,ti]. A soma de Riemann correspondente é
S(P')=sumi=1^n 1x'il(b,ti-b,ti-1r) =sumi=1^n 1b,xi,b,(ti-ti-1) =sumi=1^n 1xi(ti-ti-1)=S(P)
Como isso vale para toda partição e toda escolha de pontos, concluímos
integralb^ab1t,dt=integral1^a1t,dt

Passo 4

Finalmente usamos a propriedade aditiva da integral em [1,ab]=[1,b]cup[b,ab]:
integral1^ab1t,dt =integral1^b1t,dt+integralb^ab1t,dt =integral1^b1t,dt+integral1^a1t,dt,
que é exatamente a identidade pedida, mas com os somandos em ordem invertida.

Resposta

integral1^a1t,dt+integral1^b1t,dt =integral1^ab1t,dt

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