(*) Prove que
Sugestão: Esta igualdade pode ser escrita
. Qualquer partição
de
dá origem a uma partição
de
, e conversamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
O conteúdo aqui é entender a propriedade aditiva da integral de Riemann e usar uma transformação de partição para provar que
Passo 2
Vamos construir a correspondência entre partições de
e de
. Seja
uma partição de
. Definimos a partição
de
.
Passo 3
Em cada subintervalo
escolhemos um ponto de amostragem
. Então a soma de Riemann para
é
Para
tomamos
. A soma de Riemann correspondente é
Como isso vale para toda partição e toda escolha de pontos, concluímos
Passo 4
Finalmente usamos a propriedade aditiva da integral em
:
que é exatamente a identidade pedida, mas com os somandos em ordem invertida.