Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=\log _{2} x

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função f dada por
f(x)=\log_{2} x.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função é }f(x)=\log_{2} x\quad\text{e isso só faz sentido para }x>0.çãéó
Queremos a derivada com relação à variável independente (por exemplo f'(x)), e o enunciado sugere também variantes como f'(u) ou h'(t) — isto é, a mesma forma da derivada quando a variável tem outro nome.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para escrever \log_{2} x em termos do logaritmo natural (que facilita a diferenciação). A fórmula de mudança de base é:
\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}.
Aplicando com a=2 obtemos
\log_{2} x = \frac{\ln x}{\ln 2}.
Aqui \ln é o logaritmo natural (base e) e \ln 2 é uma constante.

Passo 3

Precisamos da derivada de \ln x. Vou mostrar um raciocínio simples e muito usado em provas: seja
y=\ln x.
Isso é equivalente a
x=e^{y}.
Diferenciando ambos os lados em relação a x (derivada implícita), lembrando que y é função de x,
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\bigr).
O lado esquerdo dá 1. O direito, pela regra da cadeia, é e^{y}\cdot \frac{dy}{dx}. Logo
1 = e^{y}\frac{dy}{dx}.
Isolando \frac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{y}}.
Mas como e^{y}=x (da relação inicial), obtemos
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}\qquad(x>0).
Essa é uma fórmula fundamental: a derivada do logaritmo natural é 1/x.

Passo 4

Agora volte para f(x)=\log_{2} x=\dfrac{\ln x}{\ln 2}. Aqui \ln 2 é constante, então podemos tirar fator constante fora da derivada:
f'(x)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
Usando \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} (do Passo 3), temos
f'(x)=\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln 2},
válido para x>0.

Passo 5

Observação sobre mudança de nome da variável: se a função for escrita com outra letra, a forma da derivada é a mesma, apenas trocando o símbolo da variável. Por exemplo, para g(u)=\log_{2} u temos
g'(u)=\frac{1}{u\ln 2}\quad(u>0),
e para h(t)=\log_{2} t temos
h'(t)=\frac{1}{t\ln 2}\quad(t>0).
Exemplo numérico rápido (só para fixar): f'(4)=\dfrac{1}{4\ln 2}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x\ln 2}
\displaystyle f'(u)=\frac{1}{u\ln 2}
\displaystyle h'(t)=\frac{1}{t\ln 2}

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