Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
Queremos a derivada com relação à variável independente (por exemplo
), e o enunciado sugere também variantes como
ou
— isto é, a mesma forma da derivada quando a variável tem outro nome.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de mudança de base dos logaritmos para escrever
em termos do logaritmo natural (que facilita a diferenciação). A fórmula de mudança de base é:
Aplicando com
obtemos
Aqui
é o logaritmo natural (base
) e
é uma constante.
Passo 3
Precisamos da derivada de
. Vou mostrar um raciocínio simples e muito usado em provas: seja
Isso é equivalente a
Diferenciando ambos os lados em relação a
(derivada implícita), lembrando que
é função de
,
O lado esquerdo dá
. O direito, pela regra da cadeia, é
. Logo
Isolando
,
Mas como
(da relação inicial), obtemos
Essa é uma fórmula fundamental: a derivada do logaritmo natural é
.
Passo 4
Agora volte para
. Aqui
é constante, então podemos tirar fator constante fora da derivada:
Usando
(do Passo 3), temos
válido para
.
Passo 5
Observação sobre mudança de nome da variável: se a função for escrita com outra letra, a forma da derivada é a mesma, apenas trocando o símbolo da variável. Por exemplo, para
temos
e para
temos
Exemplo numérico rápido (só para fixar):
.