Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=\log _{\sqrt{x}} x^{2}+\log _{\sin x} x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\log_{\sqrt{x}} x^{2}+\log_{\sin x} x
e pede a derivada f'(x) (ou, se preferir outro nome de variável, a mesma expressão com x trocado por u ou t).
Informações relevantes e restrições de domínio que precisamos lembrar: x>0 para que \ln x exista; \sin x>0 para que \ln(\sin x) exista (ou seja, x deve estar em intervalos onde \sin x>0); além disso, devemos excluir os pontos onde \ln(\sin x)=0 (isto é, \sin x=1) porque aí o log com base \sin x não está definido. Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Primeiro lembrete teórico importante (método que vamos usar): mudança de base de logaritmo. Para quaisquer bases e argumentos positivos,
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}.
Isto transforma logaritmos com base variável em quocientes de logaritmos naturais, o que facilita a diferenciação.
Também vamos usar a regra do quociente: se G(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
G'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
E regras básicas de derivação que usaremos: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x} (para x>0) e, por cadeia, \dfrac{d}{dx}\ln(\sin x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x (quando \sin x\neq 0). Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Trate o primeiro termo \log_{\sqrt{x}} x^{2} usando mudança de base e simplificação algébrica. Escrevo a base em potência:
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Agora aplico mudança de base:
\log_{\sqrt{x}} x^{2}=\frac{\ln(x^{2})}{\ln(x^{1/2})}.
Calcule os logaritmos no numerador e denominador: \ln(x^{2})=2\ln x e \ln(x^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln x. Assim
\log_{\sqrt{x}} x^{2}=\frac{2\ln x}{\tfrac{1}{2}\ln x}.
Como \ln x\neq 0 (ou seja, exceto em x=1, onde a expressão original não é válida), podemos cancelar \ln x e obter
\log_{\sqrt{x}} x^{2}= \frac{2}{1/2}=4.
Portanto o primeiro termo simplifica para a constante 4 (na parte do domínio onde tudo está definido). A derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Agora o segundo termo \log_{\sin x} x. Aplico mudança de base:
\log_{\sin x} x=\frac{\ln x}{\ln(\sin x)}.
Defina u(x)=\ln x e v(x)=\ln(\sin x). Então u'(x)=\dfrac{1}{x} e v'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x. Uso a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Substituindo u,u',v,v':
\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln(\sin x)}\right) = \frac{\dfrac{1}{x}\,\ln(\sin x)-\ln x\cdot\cot x}{[\ln(\sin x)]^{2}}.

Passo 5

Simplifico a expressão da derivada do segundo termo para ficar mais “limpa” e prática para prova. Coloco em um denominador comum x[\ln(\sin x)]^{2}:
\frac{\dfrac{1}{x}\,\ln(\sin x)-\ln x\cdot\cot x}{[\ln(\sin x)]^{2}} = \frac{\ln(\sin x)-x\ln x\cdot\cot x}{x\,[\ln(\sin x)]^{2}}.
Lembrete: \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, então outra forma equivalente é
\frac{\ln(\sin x)-x\ln x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}}{x[\ln(\sin x)]^{2}}.

Passo 6

Agora reúno as duas parcelas (a primeira tinha derivada 0, a segunda acabamos de calcular). Portanto a derivada de f é exatamente a derivada do segundo termo obtida no passo anterior. Também comento que, se você preferir outra notação de variável, por exemplo u ou t, basta substituir x por u ou t em toda a expressão.

Resposta

f'(x)=\frac{\dfrac{1}{x}\,\ln(\sin x)-\ln x\cdot\cot x}{[\ln(\sin x)]^{2}}=\frac{\ln(\sin x)-x\ln x\cdot\cot x}{x\,[\ln(\sin x)]^{2}}.

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