Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
(ou, se preferir outro nome de variável, a mesma expressão com
trocado por
ou
).
Informações relevantes e restrições de domínio que precisamos lembrar: para que
exista;
para que
exista (ou seja,
deve estar em intervalos onde
); além disso, devemos excluir os pontos onde
(isto é,
) porque aí o log com base
não está definido. Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema dá e o que pede.
Informações relevantes e restrições de domínio que precisamos lembrar:
Passo 2
Primeiro lembrete teórico importante (método que vamos usar): mudança de base de logaritmo. Para quaisquer bases e argumentos positivos,
Isto transforma logaritmos com base variável em quocientes de logaritmos naturais, o que facilita a diferenciação.
Também vamos usar a regra do quociente: se , então
Também vamos usar a regra do quociente: se
E regras básicas de derivação que usaremos:
(para
) e, por cadeia,
(quando
). Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Trate o primeiro termo
usando mudança de base e simplificação algébrica. Escrevo a base em potência:
Agora aplico mudança de base:
Calcule os logaritmos no numerador e denominador:
e
. Assim
Como
(ou seja, exceto em
, onde a expressão original não é válida), podemos cancelar
e obter
Portanto o primeiro termo simplifica para a constante
(na parte do domínio onde tudo está definido). A derivada de uma constante é
.
Passo 4
Agora o segundo termo
. Aplico mudança de base:
Defina
e
. Então
e
. Uso a regra do quociente:
Substituindo
:
Passo 5
Simplifico a expressão da derivada do segundo termo para ficar mais “limpa” e prática para prova. Coloco em um denominador comum
:
Lembrete:
, então outra forma equivalente é
Passo 6
Agora reúno as duas parcelas (a primeira tinha derivada
, a segunda acabamos de calcular). Portanto a derivada de
é exatamente a derivada do segundo termo obtida no passo anterior. Também comento que, se você preferir outra notação de variável, por exemplo
ou
, basta substituir
por
ou
em toda a expressão.