Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=x^{e^{x^{e}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f em relação a x para a função
f(x)=x^{e^{x^{e}}}.
Informações relevantes dadas:
\text{base }=x\quad\text{(variável)},\qquad\text{expoente }=e^{x^{e}}\quad\text{(função de }x\text{)}.áçã
Observação importante: para usar logaritmo natural sem problemas, assumimos x>0 (isso garante que x^{e^{x^{e}}} seja bem definida como número real). A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Método escolhido: diferenciação logarítmica. Por que? Porque temos uma potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de x. A diferenciação logarítmica transforma a potência em produto, o que facilita aplicar a regra da cadeia e a regra do produto. Vou explicar as regras que usarei:
\text{(A) Derivada do logaritmo:}\quad \frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr)=\frac{y'}{y}\quad\text{quando }y=y(x).
\text{(B) Regra da cadeia:}\quad \frac{d}{dx}\bigl(h(g(x))\bigr)=h'(g(x))\cdot g'(x).
\text{\text{(C)} Derivada do exponencial:}\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
\text{(D) Derivada de potência com expoente constante:}\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{a}\bigr)=a x^{a-1}\quad\text{para }a\text{ constante.}ê
Usaremos (A) aplicando \ln em ambos os lados, e depois (B) e (C) para calcular as derivadas internas.

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln f(x)=\ln\bigl(x^{e^{x^{e}}}\bigr).
Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a (válida para a>0), obtemos
\ln f(x)=e^{x^{e}}\cdot \ln x.

Passo 4

Derivamos ambos os lados em relação a x. Pelo item (A),
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{e}}\cdot \ln x\bigr).
À direita temos um produto de duas funções de x: e^{x^{e}} e \ln x. Usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u\cdot v\bigr)=u'v+uv'.
Logo
\frac{f'(x)}{f(x)}=\bigl(e^{x^{e}}\bigr)'\cdot \ln x + e^{x^{e}}\cdot \frac{d}{dx}(\ln x).

Passo 5

Calcular as derivadas parciais à direita:
Primeiro, \displaystyle \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Agora \displaystyle \bigl(e^{x^{e}}\bigr)'. Aplicamos a regra da cadeia (C): derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}u'(x) com u(x)=x^{e}. Então
\bigl(e^{x^{e}}\bigr)'=e^{x^{e}}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{e}\bigr).
Como e (a constante de Euler) é um número fixo, por (D) temos \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{e}\bigr)=e\,x^{e-1}. Portanto
\bigl(e^{x^{e}}\bigr)'=e^{x^{e}}\cdot e\,x^{e-1}.

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão para f'/f:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\bigl(e^{x^{e}}\cdot e\,x^{e-1}\bigr)\ln x + e^{x^{e}}\cdot\frac{1}{x}.
Fatorando e^{x^{e}} em comum:
\frac{f'(x)}{f(x)}=e^{x^{e}}\left(e\,x^{e-1}\ln x + \frac{1}{x}\right).
Agora multiplicamos ambos os lados por f(x)=x^{e^{x^{e}}} para obter f'(x):
f'(x)=x^{e^{x^{e}}}\cdot e^{x^{e}}\left(e\,x^{e-1}\ln x + \frac{1}{x}\right).

Passo 7

Podemos apresentar uma forma levemente mais compacta. Por exemplo, colocando fator 1/x dentro do parêntese:
f'(x)=x^{e^{x^{e}}}\,e^{x^{e}}\left(\frac{e\,x^{e}\ln x + 1}{x}\right).
Ou combinando x^{e^{x^{e}}} com \tfrac{1}{x} (não obrigatório):
f'(x)=x^{\,e^{x^{e}}-1}\,e^{x^{e}}\bigl(e\,x^{e}\ln x + 1\bigr).
Qualquer uma dessas formas é correta; para a prova escolha a que achar mais clara.

Resposta

f'(x)=x^{e^{x^{e}}}\,e^{x^{e}}\left(e\,x^{e-1}\ln x + \frac{1}{x}\right)

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