Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação a
para a função
Informações relevantes dadas:
Observação importante: para usar logaritmo natural sem problemas, assumimos
(isso garante que
seja bem definida como número real). A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Método escolhido: diferenciação logarítmica. Por que? Porque temos uma potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de
. A diferenciação logarítmica transforma a potência em produto, o que facilita aplicar a regra da cadeia e a regra do produto. Vou explicar as regras que usarei:
Usaremos (A) aplicando
em ambos os lados, e depois (B) e (C) para calcular as derivadas internas.
Passo 3
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade
(válida para
), obtemos
Passo 4
Derivamos ambos os lados em relação a
. Pelo item (A),
À direita temos um produto de duas funções de
:
e
. Usamos a regra do produto:
Logo
Passo 5
Calcular as derivadas parciais à direita:
Primeiro, .
Agora . Aplicamos a regra da cadeia (C): derivada de
é
com
. Então
Primeiro,
Agora
Como
(a constante de Euler) é um número fixo, por (D) temos
. Portanto
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão para
:
Fatorando
em comum:
Agora multiplicamos ambos os lados por
para obter
:
Passo 7
Podemos apresentar uma forma levemente mais compacta. Por exemplo, colocando fator
dentro do parêntese:
Ou combinando
com
(não obrigatório):
Qualquer uma dessas formas é correta; para a prova escolha a que achar mais clara.