Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada. Vou encontrar
passo a passo, explicando as regras que usei, e depois mostrar como fica se a variável for trocada (por exemplo
ou
).
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação básica e sem pular etapas):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , a derivada do produto é
Isto significa: derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, somamos com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
- Derivada de potência: para
(com real), vale
No nosso caso isso dá a derivada de
.
- Derivada de exponencial composta (regra da cadeia): para
,
Ou seja, derivamos o expoente
e multiplicamos por
.
Vou aplicar essas regras ao nosso
.
Passo 3
Separe a função em produto de duas partes para aplicar a regra do produto. Definimos
Agora calculamos as derivadas de
e
individualmente.
- Derivada de
. Usando a regra da potência e a constante multiplicativa:
Expliquei: primeiro aplicamos
, depois multiplicamos por
.
- Derivada de
. Aqui usamos a regra da cadeia: o expoente é , cuja derivada é . Então
Expliquei: derivamos
que dá
e multiplicamos por
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que calculamos:
Faço as multiplicações na segunda parcela:
Passo 5
Podemos simplificar fatorando o que é comum aos termos. Ambos têm
como fator comum:
As duas formas (expandida ou fatorada) são equivalentes:
Passo 6
Sobre mudar o nome da variável: se a função for escrita com outra letra, o procedimento é o mesmo — apenas troque
pela nova variável. Por exemplo, se escrevermos
, então
Se definirmos
, então
Respire fundo: é a mesma conta, só a letra muda. Você consegue!