Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
f(x)=3 x^{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3x^{2}e^{2x}
e pede a derivada. Vou encontrar f'(x) passo a passo, explicando as regras que usei, e depois mostrar como fica se a variável for trocada (por exemplo u ou t).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação básica e sem pular etapas):
  • Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)v(x)\bigr]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, somamos com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
  • Derivada de potência: para x^{n} (com n real), vale
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
No nosso caso isso dá a derivada de x^{2}.
  • Derivada de exponencial composta (regra da cadeia): para e^{g(x)},
\frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}.
Ou seja, derivamos o expoente g(x) e multiplicamos por e^{g(x)}.
Vou aplicar essas regras ao nosso f(x).

Passo 3

Separe a função em produto de duas partes para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=3x^{2},\qquad v(x)=e^{2x}.
Agora calculamos as derivadas de u e v individualmente.
  • Derivada de u(x)=3x^{2}. Usando a regra da potência e a constante multiplicativa:
u'(x)=3\cdot \frac{d}{dx}x^{2}=3\cdot(2x)=6x.
Expliquei: primeiro aplicamos \frac{d}{dx}x^{2}=2x, depois multiplicamos por 3.
  • Derivada de v(x)=e^{2x}. Aqui usamos a regra da cadeia: o expoente é g(x)=2x, cuja derivada é g'(x)=2. Então
v'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}=2\,e^{2x}.
Expliquei: derivamos 2x que dá 2 e multiplicamos por e^{2x}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v, v' que calculamos:
f'(x)=\bigl(6x\bigr)\,e^{2x} + \bigl(3x^{2}\bigr)\,\bigl(2e^{2x}\bigr).
Faço as multiplicações na segunda parcela:
f'(x)=6x e^{2x} + 6x^{2} e^{2x}.

Passo 5

Podemos simplificar fatorando o que é comum aos termos. Ambos têm 6x e^{2x} como fator comum:
f'(x)=6x e^{2x}\bigl(1+x\bigr).
As duas formas (expandida ou fatorada) são equivalentes:
f'(x)=6x e^{2x}+6x^{2} e^{2x}=6x e^{2x}(1+x).

Passo 6

Sobre mudar o nome da variável: se a função for escrita com outra letra, o procedimento é o mesmo — apenas troque x pela nova variável. Por exemplo, se escrevermos f(u)=3u^{2}e^{2u}, então
f'(u)=6u e^{2u}(1+u).
Se definirmos h(t)=3t^{2}e^{2t}, então
h'(t)=6t e^{2t}(1+t).
Respire fundo: é a mesma conta, só a letra muda. Você consegue!

Resposta

f'(x)=6x e^{2x}(1+x)\n f'(u)=6u e^{2u}(1+u)\n h'(t)=6t e^{2t}(1+t)

Exercícios relacionados