Encontre as derivadas (
, etc) para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a(s) derivada(s).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: e, por causa do
, o domínio natural onde a derivada está definida é
.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Para derivar
é prático usar a ideia de função composta: defina a função interna
Então podemos escrever
. Há uma regra que estudaremos agora: a regra da cadeia. Ela diz que, se
, então
Isto significa: a derivada da exponencial é a própria exponencial avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Agora vamos calcular
. A função
é soma de duas funções simples:
. A derivada da soma é a soma das derivadas:
Lembrando que
(é uma regra básica das derivadas das funções trigonométricas) e que
(uma forma rápida de ver isso é escrever
, derivar implicitamente e obter
). Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia do Passo 2 com o
do Passo 3, obtemos
Substituindo
,
Passo 5
Podemos também simplificar a expressão usando propriedades de exponenciais. Como
(aqui usei que
para
), multiplicando obtemos
Reordenando,
Passo 6
(Verificação alternativa — método do produto) Se reescrevemos a função como
e aplicarmos a regra do produto, temos:
que novamente dá
As duas formas são equivalentes; escolha a que você achar mais simples durante a prova.