Encontre as derivadas ( f^{\prime}(x), f^{\prime}(u), h^{\prime}(t), etc) para as seguintes funções:
y=e^{(\cos x+\ln x)}

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{(\cos x+\ln x)} e pede a(s) derivada(s).
Informações importantes fornecidas pelo enunciado: \;y=e^{(\cos x+\ln x)} e, por causa do \ln x, o domínio natural onde a derivada está definida é x>0.

Passo 2

Para derivar y é prático usar a ideia de função composta: defina a função interna
u(x)=\cos x+\ln x.
Então podemos escrever y=e^{u(x)}. Há uma regra que estudaremos agora: a regra da cadeia. Ela diz que, se y=e^{u(x)}, então
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot \frac{du}{dx}.
Isto significa: a derivada da exponencial é a própria exponencial avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Agora vamos calcular \frac{du}{dx}. A função u(x) é soma de duas funções simples: u(x)=\cos x+\ln x. A derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(\cos x)+\frac{d}{dx}(\ln x).
Lembrando que \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x (é uma regra básica das derivadas das funções trigonométricas) e que \frac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} (uma forma rápida de ver isso é escrever y=\ln x\Rightarrow e^{y}=x, derivar implicitamente e obter y'=\tfrac{1}{x}). Portanto
\frac{du}{dx}=-\sin x+\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia do Passo 2 com o \frac{du}{dx} do Passo 3, obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\left(-\sin x+\frac{1}{x}\right).
Substituindo u(x)=\cos x+\ln x,
\frac{dy}{dx}=e^{\cos x+\ln x}\left(-\sin x+\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Podemos também simplificar a expressão usando propriedades de exponenciais. Como e^{\cos x+\ln x}=e^{\cos x}\,e^{\ln x}=e^{\cos x}\,x (aqui usei que e^{\ln x}=x para x>0), multiplicando obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{\cos x}\,x\left(-\sin x+\frac{1}{x}\right)=e^{\cos x}\left(-x\sin x+1\right).
Reordenando,
\frac{dy}{dx}=e^{\cos x}\left(1-x\sin x\right).

Passo 6

(Verificação alternativa — método do produto) Se reescrevemos a função como y=x\,e^{\cos x} e aplicarmos a regra do produto, temos:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x)\cdot e^{\cos x}+x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{\cos x}\bigr)=e^{\cos x}+x\cdot e^{\cos x}(-\sin x),
que novamente dá
\frac{dy}{dx}=e^{\cos x}\left(1-x\sin x\right).
As duas formas são equivalentes; escolha a que você achar mais simples durante a prova.

Resposta

\frac{dy}{dx}=e^{\cos x+\ln x}\left(-\sin x+\frac{1}{x}\right)
\frac{dy}{dx}=e^{\cos x}\left(1-x\sin x\right)

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