Encontre as derivadas de:
f(t)=\arcsin (\sqrt{4 t})

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as derivadas de f(t)=\arcsin\big(\sqrt{4t}\,\big). Informações fornecidas pelo enunciado que são relevantes:
  • A função é f(t)=\arcsin\big(\sqrt{4t}\,\big).
  • A expressão interna é \sqrt{4t}, que exige 4t\ge 0, logo t\ge 0.
  • Como \arcsin só aceita argumentos em [-1,1] e \sqrt{4t}\ge 0, isso impõe 0\le \sqrt{4t}\le 1, ou seja 0\le t\le \tfrac{1}{4}.
  • Vou precisar derivar uma composição de funções (uma função dentro da outra): primeiro \sqrt{4t} e depois \arcsin(\cdot).

Passo 2

Entendendo as regras que vou usar (aula curtinha e prática):
  • Regra da cadeia (explicação): se F(t)=h(g(t)), então
F'(t)=h'\big(g(t)\big)\cdot g'(t).
Aqui g(t) é a função interna e h a externa. Cada termo da composição tem sua derivada e a derivada total é o produto delas avaliadas apropriadamente.
  • Derivada de \arcsin(x) (prova rápida): se y=\arcsin(x) então \sin(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\cos(y)\,\frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}.
Como \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}=\sqrt{1-x^2}, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\arcsin(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Isto vale para |x|<1 (nos pontos extremos precisa cuidado).
  • Derivada da raiz: \sqrt{u} = u^{1/2} tem derivada \tfrac{1}{2}u^{-1/2}u'. Se u=4t então
\frac{d}{dt}\sqrt{4t}=\frac{1}{2}(4t)^{-1/2}\cdot 4=\frac{2}{\sqrt{4t}}.
Como \sqrt{4t}=2\sqrt{t}, isso simplifica para \dfrac{1}{\sqrt{t}} (para t>0). Vou usar essa forma simplificada porque fica mais claro.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter a primeira derivada passo a passo.
Defino a função interna
g(t)=\sqrt{4t}.
Então a externa é h(u)=\arcsin(u) com u=g(t). Pela regra da cadeia,
f'(t)=h'\big(g(t)\big)\cdot g'(t).
Já sabemos h'(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} e g'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{t}} (para t>0 — atenção ao caso t=0 depois). Substituindo u=g(t)=\sqrt{4t} obtemos
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\big(\sqrt{4t}\big)^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{t}}.

Passo 4

Simplifico a expressão do Passo 3:
  • Primeiro note que \big(\sqrt{4t}\big)^2=4t.
  • Então o primeiro fator vira \dfrac{1}{\sqrt{1-4t}}.
Assim
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-4t}}\cdot\frac{1}{\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}\,\sqrt{1-4t}}.
Posso também escrever em forma única de raiz:
f'(t)=\frac{1}{\sqrt{\,t(1-4t)\,}}.
Observação importante sobre domínio da derivada: para que f'(t) seja finita e bem definida precisamos t>0 (para evitar divisão por zero em \sqrt{t}) e 1-4t>0 (para evitar raiz de número negativo e divisão por zero), ou seja 0<t<\tfrac{1}{4}. Em t=0 ou t=\tfrac{1}{4} a derivada explode (tende a infinito) e, portanto, não existe derivada finita nesses pontos.

Passo 5

Agora vamos gerar a segunda derivada f''(t). Para facilitar a conta, uso a forma
f'(t)=\big(t(1-4t)\big)^{-1/2}.
Chamo H(t)=t(1-4t). Então f'(t)=H(t)^{-1/2}. Pela regra da cadeia e da potência:
f''(t)=-\tfrac{1}{2}H(t)^{-3/2}\cdot H'(t).

Passo 6

Calculo H'(t). Como H(t)=t(1-4t), aplico a regra do produto ou distribuo antes:
H(t)=t-4t^2 \quad\Rightarrow\quad H'(t)=1-8t.
Substituo em f'':
f''(t)=-\tfrac{1}{2}\big(t(1-4t)\big)^{-3/2}\cdot(1-8t).
Posso reorganizar o sinal para ficar mais bonito:
f''(t)=\frac{8t-1}{2\big(t(1-4t)\big)^{3/2}}.

Passo 7

Interpretações e observações finais (dicas para prova, com carinho):
  • Resultado compacto para a primeira derivada é f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{t(1-4t)}}. Lembre-se de citar o domínio onde esta expressão vale: 0<t<\tfrac{1}{4}.
  • A segunda derivada ficou f''(t)=\dfrac{8t-1}{2\big(t(1-4t)\big)^{3/2}}, também válida para 0<t<\tfrac{1}{4}.
  • Nos extremos do intervalo original t=0 e t=\tfrac{1}{4} a função f existe (valores 0 e \tfrac{\pi}{2}, respectivamente), mas as derivadas na forma acima não existem (tendem a infinito). Em provas, se pedirem derivabilidade em todo o domínio, diga que é diferenciável apenas em (0,\tfrac{1}{4}).
  • Estratégia prática para prova: identifique a composição, compute a derivada da parte externa em função da interna, multiplique pela derivada da interna. Simplifique usando \big(\sqrt{4t}\big)^2=4t sempre que aparecer.

Resposta

f'(t)=\dfrac{1}{\sqrt{t(1-4t)}} para 0<t<\tfrac{1}{4}.
f''(t)=\dfrac{8t-1}{2\big(t(1-4t)\big)^{3/2}} para 0<t<\tfrac{1}{4}.

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