Encontre as derivadas de:
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as derivadas de
. Informações fornecidas pelo enunciado que são relevantes:
- A função é
. - A expressão interna é
, que exige , logo . - Como
só aceita argumentos em e , isso impõe , ou seja . - Vou precisar derivar uma composição de funções (uma função dentro da outra): primeiro
e depois .
Passo 2
Entendendo as regras que vou usar (aula curtinha e prática):
- Regra da cadeia (explicação): se
, então
Aqui
é a função interna e
a externa. Cada termo da composição tem sua derivada e a derivada total é o produto delas avaliadas apropriadamente.
- Derivada de
(prova rápida): se então . Diferenciando ambos os lados em relação a :
Como
, obtemos
Isto vale para
(nos pontos extremos precisa cuidado).
- Derivada da raiz:
tem derivada . Se então
Como
, isso simplifica para
(para
). Vou usar essa forma simplificada porque fica mais claro.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter a primeira derivada passo a passo.
Defino a função interna
Então a externa é
com
. Pela regra da cadeia,
Já sabemos
e
(para
— atenção ao caso
depois). Substituindo
obtemos
Passo 4
Simplifico a expressão do Passo 3:
- Primeiro note que
. - Então o primeiro fator vira
.
Assim
Posso também escrever em forma única de raiz:
Observação importante sobre domínio da derivada: para que
seja finita e bem definida precisamos
(para evitar divisão por zero em
) e
(para evitar raiz de número negativo e divisão por zero), ou seja
. Em
ou
a derivada explode (tende a infinito) e, portanto, não existe derivada finita nesses pontos.
Passo 5
Agora vamos gerar a segunda derivada
. Para facilitar a conta, uso a forma
Chamo
. Então
. Pela regra da cadeia e da potência:
Passo 6
Calculo
. Como
, aplico a regra do produto ou distribuo antes:
Substituo em
:
Posso reorganizar o sinal para ficar mais bonito:
Passo 7
Interpretações e observações finais (dicas para prova, com carinho):
- Resultado compacto para a primeira derivada é
. Lembre-se de citar o domínio onde esta expressão vale: . - A segunda derivada ficou
, também válida para . - Nos extremos do intervalo original
e a função existe (valores e , respectivamente), mas as derivadas na forma acima não existem (tendem a infinito). Em provas, se pedirem derivabilidade em todo o domínio, diga que é diferenciável apenas em . - Estratégia prática para prova: identifique a composição, compute a derivada da parte externa em função da interna, multiplique pela derivada da interna. Simplifique usando
sempre que aparecer.