Usando a derivação implícita determine \frac{d y}{d x} nas equações abaixo:
\sin (x y)=\sqrt{3}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a equação
\sin(xy)=\sqrt{3}
e a pergunta é determinar \displaystyle \frac{dy}{dx} usando diferenciação implícita. Informações relevantes: o lado direito \sqrt{3} é uma constante (não depende de x). Observação importante (apenas informação): \sqrt{3}\approx1{,}732 e está fora do intervalo [-1,1] do seno, logo não existem pares reais (x,y) que satisfaçam essa equação — ainda assim podemos aplicar a diferenciação implícita de forma formal para obter uma relação entre as derivadas.

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia): se u=u(x) é uma função de x, então
\frac{d}{dx}\big(\sin(u(x))\big)=\cos\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Exemplo rápido para fixar: \frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2. Aqui u(x)=xy, que depende de x direta e indiretamente por y(x).

Passo 3

Regra que também vamos usar (produto): para duas funções a(x) e b(x),
\frac{d}{dx}\big(a(x)b(x)\big)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
No nosso caso a(x)=x e b(x)=y(x), então
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=1\cdot y + x\cdot \frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.
Expliquei passo a passo porque x deriva para 1 e y deriva para \frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora diferenciamos os dois lados da equação original em relação a x. Pela regra da cadeia (Passo 2) e pelo cálculo do produto (Passo 3) obtemos, diferenciando a esquerda, e observando que a direita é constante:
\frac{d}{dx}\big(\sin(xy)\big)=\frac{d}{dx}\big(\sqrt{3}\big).
Isso dá
\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy)=0.
Substituindo o resultado do Passo 3:
\cos(xy)\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)=0.

Passo 5

Isolamos \displaystyle \frac{dy}{dx}. A equação obtida é um produto igual a zero, então ela é satisfeita se \cos(xy)=0 ou se y + x\frac{dy}{dx}=0. Quando \cos(xy)\neq 0 podemos dividir por \cos(xy) e obter
y + x\frac{dy}{dx}=0.
Agora isolamos \frac{dy}{dx}:
x\frac{dy}{dx}=-y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x},
desde que possamos dividir por x (ou seja, x\neq 0). Se x=0 teria que analisar o caso separadamente; nesse tipo de manipulação, quando dividimos por x estamos assumindo x\neq0.

Passo 6

Resumo das possibilidades (o que vale na prática):
  • Se \cos(xy)\neq 0 e x\neq 0, então
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}.
  • Se \cos(xy)=0, a igualdade \cos(xy)\big(y + x\frac{dy}{dx}\big)=0 é verdadeira independentemente de y + x\frac{dy}{dx}, portanto a diferenciação implícita não determina \frac{dy}{dx} naquele ponto (é uma situação singular; precisa-se de informação adicional para saber \frac{dy}{dx}).
    Nota final: no problema dado não existem pontos reais que satisfaçam \sin(xy)=\sqrt{3}, então geometricamente não há curva real para derivar — ainda assim a relação algébrica acima é o resultado formal da diferenciação implícita.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} para \cos(xy)\neq 0 e x\neq 0.
Se \cos(xy)=0 a diferenciação implícita não determina \displaystyle \frac{dy}{dx} naquele ponto.

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