Usando a derivação implícita determine
nas equações abaixo:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a equação
e a pergunta é determinar
usando diferenciação implícita. Informações relevantes: o lado direito
é uma constante (não depende de
). Observação importante (apenas informação):
e está fora do intervalo
do seno, logo não existem pares reais
que satisfaçam essa equação — ainda assim podemos aplicar a diferenciação implícita de forma formal para obter uma relação entre as derivadas.
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia): se
é uma função de
, então
Exemplo rápido para fixar:
. Aqui
, que depende de
direta e indiretamente por
.
Passo 3
Regra que também vamos usar (produto): para duas funções
e
,
No nosso caso
e
, então
Expliquei passo a passo porque
deriva para
e
deriva para
.
Passo 4
Agora diferenciamos os dois lados da equação original em relação a
. Pela regra da cadeia (Passo 2) e pelo cálculo do produto (Passo 3) obtemos, diferenciando a esquerda, e observando que a direita é constante:
Isso dá
Substituindo o resultado do Passo 3:
Passo 5
Isolamos
. A equação obtida é um produto igual a zero, então ela é satisfeita se
ou se
. Quando
podemos dividir por
e obter
Agora isolamos
:
desde que possamos dividir por
(ou seja,
). Se
teria que analisar o caso separadamente; nesse tipo de manipulação, quando dividimos por
estamos assumindo
.
Passo 6
Resumo das possibilidades (o que vale na prática):
- Se
e , então
- Se
, a igualdade é verdadeira independentemente de , portanto a diferenciação implícita não determina naquele ponto (é uma situação singular; precisa-se de informação adicional para saber ).
Nota final: no problema dado não existem pontos reais que satisfaçam, então geometricamente não há curva real para derivar — ainda assim a relação algébrica acima é o resultado formal da diferenciação implícita.
Resposta
Se