Encontre as derivadas de:
f(x)=\operatorname{arcsec}(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas da função
f(x)=\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é formada pela composição da função \operatorname{arcsec}(\cdot) com u(x)=\tfrac{1}{x}.
  • Lembre que \operatorname{arcsec}(t) só está definida quando |t|\ge 1. Aplicando isso ao argumento t=\tfrac{1}{x}, obtemos a condição de existência da função:
\left|\tfrac{1}{x}\right|\ge 1 \quad\Longrightarrow\quad |x|\le 1,\; x\neq 0.
  • A derivada deverá ser calculada onde a função está definida e diferenciável (vamos ver restrições adicionais ao longo da resolução).

Passo 2

Vamos deduzir uma fórmula geral para a derivada de \operatorname{arcsec}(u(x)) usando diferenciação implícita e regra da cadeia — eu explico tudo passo a passo.
  1. Definição implícita: seja y=\operatorname{arcsec}(u). Por definição de arco-secante, isso significa
\operatorname{sec} y = u.
  1. Diferencie ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sec} y em relação a y é \operatorname{sec} y\tan y, e depois multiplicamos por y'=\dfrac{dy}{dx}. No lado direito aparece u'=du/dx. Assim:
\operatorname{sec} y\cdot \tan y\cdot y' = u'.
  1. Isolando y':
y' = \frac{u'}{\operatorname{sec} y\cdot \tan y}.
  1. Agora escrevemos \operatorname{sec} y e \tan y em função de u. Como \operatorname{sec} y = u, temos
\tan^2 y = \operatorname{sec}^2 y - 1 = u^2 - 1,
logo
\tan y = \pm\sqrt{u^2-1}.
O sinal \pm depende do quadrante de y, e isso pode ser absorvido usando o valor absoluto de u quando combinamos termos. Substituindo em \operatorname{sec} y\cdot \tan y = u\cdot \tan y obtemos
\operatorname{sec} y\cdot \tan y = u\cdot (\pm\sqrt{u^2-1}) = \pm u\sqrt{u^2-1}.
Para obter uma expressão que valha no ramo principal de \operatorname{arcsec} (onde se costuma tomar valores de y tais que a fórmula resulte corretamente), usamos o módulo para garantir positividade na combinação, chegando à forma padrão:
\operatorname{sec} y\cdot \tan y = |u|\sqrt{u^2-1}.
  1. Portanto a fórmula final (válida quando |u|>1) é
\boxed{\dfrac{d}{dx}\,\operatorname{arcsec}(u(x)) = \dfrac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^2-1}}.}
Observações didáticas: a presença de |u| corrige o sinal vindo de \tan y e garante que o denominador seja positivo; a condição |u|>1 vem da necessidade de \sqrt{u^2-1} ser real e da definição de \operatorname{arcsec}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula acima com u(x)=\tfrac{1}{x}.
  1. Calcule u'(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{x}\right) = -\tfrac{1}{x^2}.
  1. Substituímos em
f'(x)=\frac{u'(x)}{|u(x)|\sqrt{u(x)^2-1}}.
Colocando u=\tfrac{1}{x} e u'=-\tfrac{1}{x^2}:
f'(x)=\frac{-\tfrac{1}{x^2}}{\left|\tfrac{1}{x}\right|\sqrt{\left(\tfrac{1}{x}\right)^2-1}}.
  1. Simplificamos passo a passo. Primeiro use \left|\tfrac{1}{x}\right|=\tfrac{1}{|x|} e
\sqrt{\left(\tfrac{1}{x}\right)^2-1}=\sqrt{\tfrac{1-x^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x|}.
Substituindo esses resultados no denominador:
\left|\tfrac{1}{x}\right|\sqrt{\left(\tfrac{1}{x}\right)^2-1} = \frac{1}{|x|}\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{|x|} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2},
pois |x|\cdot|x|=x^2.
  1. Agora volte à expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{-\tfrac{1}{x^2}}{\tfrac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}}.
Os fatores \tfrac{1}{x^2} cancelam, sobrando
\boxed{f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.}
  1. Domínio de validade da derivada: a função original exige |x|\le 1 e x\neq 0. Para que a derivada esteja finita, precisamos também que 1-x^2>0, isto é |x|<1. Portanto a expressão da derivada vale para
-1 < x < 0 \quad\text{ou}\quad 0 < x < 1.
Nos pontos x=\pm 1 o denominador \sqrt{1-x^2} é zero (a derivada tende a infinito) e em x=0 a função nem está definida.

Passo 4

Intuição rápida e atalho que ajuda na prova: note que, onde tudo está definido, vale a identidade
\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\operatorname{arccos}(x).
Dessa forma você já pode lembrar direto que \dfrac{d}{dx}\operatorname{arccos}(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, obtendo o mesmo resultado. Isso é útil para decorar.

Resposta

f'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} para -1<x<0 ou 0<x<1.

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