Encontre as derivadas de:
’
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas da função
Informações dadas:
Observação importante (dado implícito pelo enunciado): o argumento de
precisa estar em
, logo a função está definida para
No entanto, ao derivar veremos restrições adicionais (pontos onde a derivada pode não existir). A partir daqui vamos calcular passo a passo as derivadas (primeira e segunda), explicando tudo com calma.
Passo 2
Vamos recordar duas regras que usaremos: a regra da cadeia e a derivada de
.
Regra da cadeia (explicação didática): se você tem uma função composta
então a derivada é dada por
Aqui
é a função interna e
é a função externa; você deriva a externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da interna. Pense assim: primeiro “deriva” o formato da casca (externa), depois multiplica pela velocidade com que a casca muda (interna).
Derivada de
(fórmula e explicação): para uma variável
(que pode depender de
),
Significado: ao derivar
aplicamos a regra da cadeia com
e
. Notar que o denominador
aparece porque a derivada de
está relacionada geometricamente com a derivada do arco de um círculo; o sinal negativo indica que
é decrescente.
Exemplo rápido (para fixar): se
, então
,
e
Viu? É só aplicar a fórmula e multiplicar por
.
Passo 3
Identificamos a função interna e calculamos sua derivada.
A função interna é
A função interna é
Agora derivamos
:
Explicação: usamos a regra de potência, que diz
. Aqui
.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia com
e
. Usando a fórmula da derivada de
,
Substituindo
e
,
Simplificando a potência no denominador
, obtemos
Comentário sobre domínio da derivada: essa fórmula é válida quando o denominador é positivo, isto é para
Em
o denominador é zero (singularidade) e a derivada não existe (salvo casos onde o numerador fosse também zero; aqui para
o numerador é
, não zero — logo derivada inexistente nesses pontos). Em
a fórmula dá
, o que é perfeitamente regular.
Passo 5
Agora vamos calcular a segunda derivada
, explicando cada etapa (vai usar produto e cadeia novamente).
Reescrevemos
de forma conveniente:
Vamos usar a regra do produto: se
então
.
Aqui escolhemos
Aqui escolhemos
Calculamos
:
Agora
: aplicamos a regra da cadeia ao expoente
. Seja
. Então
e
Pela regra da cadeia,
Simplificando os sinais e constantes:
Agora aplicamos a regra do produto:
Multiplicando no segundo termo:
então
Agora vamos fatorar para simplificar: fator comum
e também
:
Calculamos o colchete:
Substituindo,
Portanto, escrevendo de forma limpa,
Domínio da segunda derivada: exige
, ou seja
. Em
temos
por substituição direta (note que
no numerador anula a expressão), e em
a segunda derivada diverge (não existe).
Passo 6
Recuperando o raciocínio de forma curta (como você pode lembrar na prova):
- Identifique a função interna
e . - Use a fórmula
. - Para a segunda derivada, derive
usando produto e cadeia; simplifique.
Força aí — você já tem o passo a passo completo e as fórmulas prontas para a prova.