Encontre as derivadas de:
f(x)=\operatorname{arccos} \left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas da função
f(x)=\operatorname{arccos}\bigl(x^{3}\bigr).
Informações dadas:
\text{a função }f\text{ é a composição da função }\operatorname{arccos}(\cdot)\text{ com }x\mapsto x^{3}.çãéçãçã
Observação importante (dado implícito pelo enunciado): o argumento de \operatorname{arccos} precisa estar em [-1,1], logo a função está definida para
x\in[-1,1].
No entanto, ao derivar veremos restrições adicionais (pontos onde a derivada pode não existir). A partir daqui vamos calcular passo a passo as derivadas (primeira e segunda), explicando tudo com calma.

Passo 2

Vamos recordar duas regras que usaremos: a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{arccos}.
Regra da cadeia (explicação didática): se você tem uma função composta
F(x)=H\bigl(G(x)\bigr),
então a derivada é dada por
F'(x)=H'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
Aqui G(x) é a função interna e H é a função externa; você deriva a externa avaliando-a na interna e multiplica pela derivada da interna. Pense assim: primeiro “deriva” o formato da casca (externa), depois multiplica pela velocidade com que a casca muda (interna).
Derivada de \operatorname{arccos}(u) (fórmula e explicação): para uma variável u (que pode depender de x),
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arccos}(u)\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\quad\text{para }|u|<1.
Significado: ao derivar \operatorname{arccos}(u(x)) aplicamos a regra da cadeia com H(u)=\operatorname{arccos}(u) e G(x)=u(x). Notar que o denominador \sqrt{1-u^{2}} aparece porque a derivada de \operatorname{arccos} está relacionada geometricamente com a derivada do arco de um círculo; o sinal negativo indica que \operatorname{arccos} é decrescente.
Exemplo rápido (para fixar): se f(x)=\operatorname{arccos}(2x), então u(x)=2x, u'(x)=2 e
f'(x)=-\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^{2}}}=-\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Viu? É só aplicar a fórmula e multiplicar por u'(x).

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos sua derivada.
A função interna é
u(x)=x^{3}.
Agora derivamos u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Explicação: usamos a regra de potência, que diz \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Aqui n=3.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia com H(u)=\operatorname{arccos}(u) e u(x)=x^{3}. Usando a fórmula da derivada de \operatorname{arccos},
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(u(x))\bigr)=\biggl(-\frac{1}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}\biggr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x^{3} e u'(x)=3x^{2},
f'(x)=-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-(x^{3})^{2}}}.
Simplificando a potência no denominador (x^{3})^{2}=x^{6}, obtemos
\boxed{\,f'(x) = -\dfrac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}\,}.
Comentário sobre domínio da derivada: essa fórmula é válida quando o denominador é positivo, isto é para
1-x^{6}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Em x=\pm 1 o denominador é zero (singularidade) e a derivada não existe (salvo casos onde o numerador fosse também zero; aqui para x=\pm1 o numerador é -3, não zero — logo derivada inexistente nesses pontos). Em x=0 a fórmula dá f'(0)=0, o que é perfeitamente regular.

Passo 5

Agora vamos calcular a segunda derivada f''(x), explicando cada etapa (vai usar produto e cadeia novamente).
Reescrevemos f'(x) de forma conveniente:
f'(x) = -3x^{2}\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-1/2}.
Vamos usar a regra do produto: se v(x)=A(x)B(x) então v'(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Aqui escolhemos
A(x)=-3x^{2},\qquad B(x)=\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-1/2}.
Calculamos A'(x):
A'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}\bigr)=-6x.
Agora B'(x): aplicamos a regra da cadeia ao expoente -1/2. Seja w(x)=1-x^{6}. Então B(x)=w(x)^{-1/2} e
w'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-x^{6}\bigr)=-6x^{5}.
Pela regra da cadeia,
B'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(w^{-1/2}\bigr)=(-\tfrac{1}{2})w^{-3/2}\cdot w'(x)=(-\tfrac{1}{2})\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}\cdot(-6x^{5}).
Simplificando os sinais e constantes:
B'(x)=3x^{5}\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}.
Agora aplicamos a regra do produto:
f''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x) = (-6x)\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-1/2} + (-3x^{2})\cdot\bigl(3x^{5}\bigr)\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}.
Multiplicando no segundo termo:
(-3x^{2})(3x^{5}) = -9x^{7},
então
f''(x) = -6x\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-1/2} - 9x^{7}\bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}.
Agora vamos fatorar para simplificar: fator comum \bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2} e também -3x:
f''(x) = \bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}\bigl[(-6x)\bigl(1-x^{6}\bigr) + (-9x^{7})\bigr].
Calculamos o colchete:
(-6x)(1-x^{6}) -9x^{7} = -6x +6x^{7} -9x^{7} = -6x -3x^{7} = -3x(2+x^{6}).
Substituindo,
f''(x) = \bigl(1-x^{6}\bigr)^{-3/2}\bigl(-3x(2+x^{6})\bigr).
Portanto, escrevendo de forma limpa,
\boxed{\,f''(x) = -\dfrac{3x\bigl(2+x^{6}\bigr)}{\bigl(1-x^{6}\bigr)^{3/2}}\,}.
Domínio da segunda derivada: exige 1-x^{6}>0, ou seja |x|<1. Em x=0 temos f''(0)=0 por substituição direta (note que x no numerador anula a expressão), e em x=\pm1 a segunda derivada diverge (não existe).

Passo 6

Recuperando o raciocínio de forma curta (como você pode lembrar na prova):
  1. Identifique a função interna u(x)=x^{3} e u'(x)=3x^{2}.
  2. Use a fórmula \dfrac{d}{dx}\operatorname{arccos}(u)=-\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.
  3. Para a segunda derivada, derive f'(x)=-3x^{2}(1-x^{6})^{-1/2} usando produto e cadeia; simplifique.
Força aí — você já tem o passo a passo completo e as fórmulas prontas para a prova.

Resposta

f'(x) = -\dfrac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}
f''(x) = -\dfrac{3x\bigl(2+x^{6}\bigr)}{\bigl(1-x^{6}\bigr)^{3/2}}

Exercícios relacionados