Encontre as derivadas:
f(x)=sech^2(e^x)

Passo 1

O problema pede a derivada de . Aqui estamos trabalhando com funções hiperbólicas e precisamos usar a regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Primeiro identificamos as composições: seja u(x)=e^x e , então v(u)=sech(u).
Vamos lembrar duas derivações úteis:
• A derivada de f(x)=l(v(u(x))r)^2 é u(x)=e^x.
• A derivada de é , resultado clássico de funções hiperbólicas.

Passo 3

Agora derivamos e f(x)=w(u)) com (w(z)=z^2. Usando regra da cadeia temos:
z=v(u(x))

Passo 4

Substituindo , e v(u)=sech(u), obtemos:

Passo 5

Simplificando o fator e o sinal, fica:

Resposta

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