Encontre as derivadas das funções abaixo:
e^t^2 sin t

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função $ f(t) = e{t{2} \sin t} $. Para isso, vamos usar o cálculo das derivadas, especificamente a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Precisamos entender como a função exponencial se comporta quando sua base é uma função mais complexa, como $ t^{2} \sin t $.

Passo 2

Primeiro, identificamos a estrutura da função que vamos derivar. Temos uma função exponencial onde o expoente é $ t^{2} \sin t $. Isso significa que a função está na forma $ e^{u(t)} $, onde $ u(t) = t^{2} \sin t $.

Passo 3

Para derivar $ f(t) = e^{u(t)} $, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta $ e^{u(t)} $ é igual a $ e^{u(t)} $ multiplicado pela derivada de $ u(t) $, ou seja:
f(t) = e^u(t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u(t) = t^{2} \sin t $. Aqui, temos um produto de duas funções: $ t^{2} $ e $ \sin t $. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto.

Passo 5

A regra do produto nos diz que a derivada de $ u(t) = v(t) \cdot w(t) $ é:
u(t) = v(t) cdot w(t)
Onde $ v(t) = t^{2} $ e $ w(t) = \sin t $.

Passo 6

Vamos calcular $ v’(t) $ e $ w’(t) $:
  • $ v(t) = t^{2} $ então $ v’(t) = 2t $
  • $ w(t) = \sin t $ então $ w’(t) = \cos t $

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
u'(t) = v'(t) cdot w(t) + v(t) cdot w'(t) = 2t cdot sin t + t^2 cdot cos t

Passo 8

Agora que temos $ u’(t) $, voltamos à derivada de $ f(t) $:
u'(t)

Resposta

A derivada de $ f(t) = e{t{2} \sin t} $ é:
f(t) = e^t^2 sin t

Exercícios relacionados