Encontre as derivadas das funções abaixo:
f(x)=\frac{3 x^{2}-2 x}{5}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{3 x^{2}-2 x}{5}.
Informações dadas: a expressão de f(x) como uma razão cujo numerador é 3x^{2}-2x e o denominador é 5. A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do fator constante: a derivada de c\cdot g(x), onde c é uma constante, é c\cdot g'(x). Ou seja, constantes saem na frente.
  • Regra da soma (linearidade): a derivada de g(x)+h(x) é g'(x)+h'(x).
  • Regra da potência (power rule): a derivada de x^{n} é n\,x^{n-1}. Aqui n é um número real (no nosso caso inteiro), e x é a variável. Exemplo simples: a derivada de x^{2} é 2x; a derivada de x é 1.
Essas regras são suficientes para este exercício.

Passo 3

Vamos reescrever f(x) isolando a constante \tfrac{1}{5}:
f(x)=\frac{1}{5}\bigl(3x^{2}-2x\bigr).
Isso deixa claro que podemos aplicar a regra do fator constante com c=\tfrac{1}{5}.

Passo 4

Aplicando a regra do fator constante:
f'(x)=\frac{1}{5}\,\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x\bigr).
Agora precisamos derivar o que está entre parênteses.

Passo 5

Usando linearidade, derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr).
Derivando cada termo:
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr): a constante 3 sai na frente e aplicamos a regra da potência em x^{2}, então obtemos 3\cdot 2x=6x.
  • Para \dfrac{d}{dx}\bigl(2x\bigr): a constante 2 sai na frente e a derivada de x é 1, então obtemos 2\cdot 1=2.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-2x\bigr)=6x-2.

Passo 6

Voltando para f'(x) e multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5}:
f'(x)=\frac{1}{5}\,(6x-2).
Podemos simplificar a expressão extraindo um fator 2 no numerador:
f'(x)=\frac{6x-2}{5}=\frac{2(3x-1)}{5}.

Passo 7

Pequena checagem para sentir segurança: por exemplo, em x=1 temos
f'(1)=\frac{6\cdot 1-2}{5}=\frac{4}{5},
o que é coerente com o procedimento que fizemos.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{6x-2}{5}=\frac{2(3x-1)}{5}

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