Encontre as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas: a expressão de
como uma razão cujo numerador é
e o denominador é
. A tarefa é calcular
, a derivada de
em função de
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas com calma):
- Regra do fator constante: a derivada de
, onde é uma constante, é . Ou seja, constantes saem na frente. - Regra da soma (linearidade): a derivada de
é . - Regra da potência (power rule): a derivada de
é . Aqui é um número real (no nosso caso inteiro), e é a variável. Exemplo simples: a derivada de é ; a derivada de é .
Essas regras são suficientes para este exercício.
Passo 3
Vamos reescrever
isolando a constante
:
Isso deixa claro que podemos aplicar a regra do fator constante com
.
Passo 4
Aplicando a regra do fator constante:
Agora precisamos derivar o que está entre parênteses.
Passo 5
Usando linearidade, derivamos termo a termo:
Derivando cada termo:
- Para
: a constante sai na frente e aplicamos a regra da potência em , então obtemos . - Para
: a constante sai na frente e a derivada de é , então obtemos .
Portanto
Passo 6
Voltando para
e multiplicando pelo fator
:
Podemos simplificar a expressão extraindo um fator
no numerador:
Passo 7
Pequena checagem para sentir segurança: por exemplo, em
temos
o que é coerente com o procedimento que fizemos.