Encontre as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas. Vou entender que o pedido é a derivada primeira
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função está escrita como produto de duas expressões lineares:
e . - Não há restrição de domínio explícita (logo vale para todos os
).
Passo 2
Vou mostrar duas maneiras de obter
: (A) usando a regra do produto diretamente e (B) expandindo o produto e usando a regra do poder (power rule). Ambas são válidas; eu escolho mostrar as duas porque a regra do produto é a forma direta quando a função aparece como produto, e expandir é um jeito simples quando o produto resulta num polinômio — é bom saber ambos para a prova.
Passo 3
Aula rápida: regra do produto e regras básicas que usarei.
A fórmula da regra do produto é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
e
é a derivada de
. Isso significa: para derivar um produto, deriva-se a primeira mantendo a segunda + mantém a primeira e deriva-se a segunda.
Outra regra que usarei é a regra do poder (power rule):
para qualquer inteiro
. Em particular,
e a derivada de uma constante é
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto à função dada. Defino
Calculando as derivadas de
e
:
Agora uso a regra do produto:
Substituindo:
Fazendo as somas:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Verificação pelo método alternativo (expandir e derivar) — isso ajuda a ganhar confiança no resultado.
Primeiro expando o produto:
Portanto
Agora aplico a regra do poder termo a termo:
Somando:
que coincide com o resultado do Passo 4.
Passo 6
Resumo das regras usadas (para a sua prova):
- Se a função está como produto
, use . - Se a função é um polinômio, você pode aplicar
termo a termo.
Fazer as duas coisas e comparar é uma boa estratégia de checagem rápida.