Encontre as derivadas das funções abaixo:
f(x)=(x+1)(x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=(x+1)(x-2)\; e pede para encontrar as derivadas. Vou entender que o pedido é a derivada primeira \;f'(x)\;.
Informações importantes fornecidas:
  • A função está escrita como produto de duas expressões lineares: \;x+1\; e \;x-2\;.
  • Não há restrição de domínio explícita (logo vale para todos os \;x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Vou mostrar duas maneiras de obter \;f'(x)\;: (A) usando a regra do produto diretamente e (B) expandindo o produto e usando a regra do poder (power rule). Ambas são válidas; eu escolho mostrar as duas porque a regra do produto é a forma direta quando a função aparece como produto, e expandir é um jeito simples quando o produto resulta num polinômio — é bom saber ambos para a prova.

Passo 3

Aula rápida: regra do produto e regras básicas que usarei.
A fórmula da regra do produto é
(u\cdot v)' = u'v + u v'
onde u e v são funções de x, u' é a derivada de u e v' é a derivada de v. Isso significa: para derivar um produto, deriva-se a primeira mantendo a segunda + mantém a primeira e deriva-se a segunda.
Outra regra que usarei é a regra do poder (power rule):
(x^n)' = n x^{n-1}
para qualquer inteiro n. Em particular, (x)'=1 e a derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Aplicando a regra do produto à função dada. Defino
u(x)=x+1,\qquad v(x)=x-2.
Calculando as derivadas de u e v:
u'(x) = (x+1)' = 1+0 = 1,
v'(x) = (x-2)' = 1+0 = 1.
Agora uso a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Substituindo:
f'(x) = 1\cdot (x-2) + (x+1)\cdot 1.
Fazendo as somas:
f'(x) = (x-2)+(x+1).
Agrupando termos semelhantes:
f'(x) = x + x -2 + 1 = 2x -1.

Passo 5

Verificação pelo método alternativo (expandir e derivar) — isso ajuda a ganhar confiança no resultado.
Primeiro expando o produto:
f(x) = (x+1)(x-2) = x\cdot x + x\cdot(-2) + 1\cdot x + 1\cdot(-2).
Portanto
f(x) = x^2 -2x + x -2 = x^2 - x -2.
Agora aplico a regra do poder termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^2) = 2x,\qquad \frac{d}{dx}(-x) = -1,\qquad \frac{d}{dx}(-2)=0.
Somando:
f'(x) = 2x -1 + 0 = 2x -1,
que coincide com o resultado do Passo 4.

Passo 6

Resumo das regras usadas (para a sua prova):
  • Se a função está como produto u\cdot v, use (u\cdot v)'=u'v+uv'.
  • Se a função é um polinômio, você pode aplicar (x^n)'=n x^{n-1} termo a termo.
    Fazer as duas coisas e comparar é uma boa estratégia de checagem rápida.

Resposta

f'(x)=2x-1

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