Encontre as derivadas das funções abaixo:
y=8 x^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y=8x^{-1}.
Informações dadas: a função é y=8x^{-1} definida para x\neq0. O que queremos é \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma bem didática):
  • Regra do múltiplo constante: se y = c\cdot f(x) com c constante, então \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big) = c\cdot \dfrac{d}{dx}f(x). Ou seja, a constante sai na frente da derivada.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Explicação curta: essa regra diz que, para derivar uma potência de x, multiplicamos pela potência atual n e reduzimos o expoente em uma unidade. Funciona também para expoentes negativos (por exemplo, n=-1).
Exemplo simples para fixar: se f(x)=x^{3}, então usando a regra da potência
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Outro exemplo com expoente negativo: se g(x)=x^{-2}, então
\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}.

Passo 3

Aplique as regras à nossa função. Primeiro escrevemos claramente a função como um produto de constante por potência:
y=8x^{-1}=8\cdot x^{-1}.
Pela regra do múltiplo constante,
\frac{dy}{dx}=8\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big).
Agora aplicamos a regra da potência com n=-1:
\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big) = (-1)\,x^{-2}.
Substituindo:
\frac{dy}{dx}=8\cdot\big((-1)\,x^{-2}\big) = -8x^{-2}.

Passo 4

Simplifique a forma da derivada para uma escrita mais comum em fração:
-8x^{-2} = -\dfrac{8}{x^{2}}.
Também lembrando do domínio: a derivada está definida para x\neq0, assim como a função original.

Passo 5

Dica de prova/recado final (rápido e amigo): na hora da prova, se você ver x^{-1} pense imediatamente em 1/x; sabe que \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{x}\big)=-\tfrac{1}{x^{2}}. Aí é só multiplicar pela constante 8 e pronto: -\tfrac{8}{x^{2}}. Respire, confie no passo a passo, e pratique alguns parecidos para ganhar rapidez!

Resposta

-\dfrac{8}{x^{2}}

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