Encontre as derivadas das funções abaixo:
f(x)=4 x^{3}-\frac{9}{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a(s) derivada(s) da função f(x)=4x^{3}-\frac{9}{x}. É importante notar que, devido ao termo \frac{9}{x}, a função f está definida apenas para x\neq0. O objetivo é calcular a derivada de f, ou seja, f'(x).

Passo 2

Primeiro, uma breve explicação sobre derivadas: a derivada de uma função em um ponto representa a taxa de variação instantânea nesse ponto, que corresponde ao “declive” da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Para calcular derivadas, utilizamos regras que transformam cada termo da função em seu correspondente derivado.

Passo 3

As regras que serão utilizadas são:
  • Linearidade da derivada: a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas, e constantes podem ser fatoradas:
\frac{d}{dx}\big( a\cdot g(x)\big)=a\cdot \frac{d}{dx}g(x),
onde a é constante e g(x) é uma função.
  • Regra da potência: para qualquer expoente n (inteiro, real etc.), temos
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Isso significa que pegamos o expoente, multiplicamos pela expressão original e subtraímos 1 do expoente.
Exemplo: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Se houver uma constante multiplicando, como em \frac{d}{dx}(4x^{3}), então \frac{d}{dx}(4x^{3})=4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.

Passo 4

Aplicando as regras à função dada, primeiro reescrevemos o termo com divisão como uma potência negativa:
-\frac{9}{x}=-9x^{-1}.
Agora, aplicamos a linearidade e a regra da potência termo a termo.
Para o primeiro termo 4x^{3}:
\frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.
Para o segundo termo -9x^{-1}:
\frac{d}{dx}\big(-9x^{-1}\big)=-9\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-9\cdot(-1)x^{-2}=9x^{-2}.
Aqui, usamos a regra da potência com n=-1: \frac{d}{dx}(x^{-1})=-1\,x^{-2}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (pela linearidade), obtemos:
f'(x)=12x^{2}+9x^{-2}.
Podemos escrever em forma de fração:
f'(x)=12x^{2}+\frac{9}{x^{2}},\qquad x\neq0.

Passo 6

O termo -\dfrac{9}{x} poderia ser derivado também pela regra do quociente, e o resultado seria o mesmo. No entanto, a forma mais simples e direta é reescrever como potência negativa e aplicar a regra da potência.

Resposta

f'(x)=12x^{2}+\dfrac{9}{x^{2}}

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