Utilizando as propriedades das derivadas encontre as derivadas das funções:
y=(2 x+1)(3 x-4)

Passo 1

O enunciado pede: encontre a derivada da função \;y=(2x+1)(3x-4)\;.
Informações dadas: a função é o produto de duas funções lineares \;2x+1\; e \;3x-4\;. A tarefa é calcular \;y' (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade simples e muito útil: a derivada de uma função linear \;ax+b\; é \;a.
Explicando por que: a derivada é a taxa de variação; a parte \;ax\; varia com coeficiente \;a\; (derivada de \;x é \;1), e a constante \;b\; tem derivada \;0. Então, por linearidade,
\frac{d}{dx}(ax+b)=a.
Isso nos diz, por exemplo, que \frac{d}{dx}(2x+1)=2 e \frac{d}{dx}(3x-4)=3.

Passo 3

Como temos produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto afirma: se \;u(x)\; e \;v(x)\; são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. A ideia é: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, somado ao primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 4

Identificamos as funções:
u(x)=2x+1,\qquad v(x)=3x-4.
Usando a propriedade do Passo 2, calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=2,\qquad v'(x)=3.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
y' = u'v + uv' = 2\cdot(3x-4) + (2x+1)\cdot 3.
Desenvolvendo passo a passo:
2\cdot(3x-4)=6x-8,
(2x+1)\cdot 3=6x+3.
Somando:
y'=(6x-8)+(6x+3)=12x-5.

Passo 6

Verificação alternativa (para ganhar confiança): expandindo antes de derivar,
y=(2x+1)(3x-4)=6x^2-8x+3x-4=6x^2-5x-4.
Derivando termo a termo (regra da potência: \frac{d}{dx}x^2=2x):
y'=\frac{d}{dx}(6x^2)-\frac{d}{dx}(5x)-\frac{d}{dx}(4)=12x-5+0=12x-5,
que confirma o resultado anterior.

Resposta

\;y'=12x-5

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