Encontre todos os pontos sobre o gráfico de y=x^3-x+1 nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos no gráfico de y = x³ – x + 1 onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve derivadas, pois a condição para tangente horizontal é derivada igual a zero.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y em relação a x. Como y = x³ – x + 1, usamos a regra potência termo a termo. A derivada é
dydx = 3x^2 - 1

Passo 3

Impondo a condição de reta tangente horizontal, fazemos dydx = 0. Então
3x^2 - 1 = 0
Resolvendo para x temos
$$
x^2 = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} x^2 = 13 Longrightarrow x = pm 1raiz3çã³
y = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= -\frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}
x = 1raiz3
y = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^3 - \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + 1
= -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= \frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}$$

Passo 4

Portanto, os pontos onde a reta tangente é horizontal são exatamente l(tfrac1raiz3,tfrac9 - 2raiz39r) e l(-tfrac1raiz3,tfrac9 + 2raiz39r).

Resposta

l(tfrac1raiz3,tfrac9 - 2raiz39r) e l(-tfrac1raiz3,tfrac9 + 2raiz39r)

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