Encontre todos os pontos sobre o gráfico de
nos quais a reta tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos no gráfico de y = x³ – x + 1 onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve derivadas, pois a condição para tangente horizontal é derivada igual a zero.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de y em relação a x. Como y = x³ – x + 1, usamos a regra potência termo a termo. A derivada é
Passo 3
Impondo a condição de reta tangente horizontal, fazemos
. Então
Resolvendo para x temos
$$
x^2 = \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}
y = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= -\frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}
= \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= -\frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= \frac{9 - 2\sqrt{3}}{9}
y = \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)^3 - \Bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + 1
= -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= \frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + 1
= \frac{2\sqrt{3}}{9} + 1
= \frac{9 + 2\sqrt{3}}{9}$$
Passo 4
Portanto, os pontos onde a reta tangente é horizontal são exatamente
e
.