Encontre as derivadas das funções abaixo:
g(x)=x e^{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a(s) derivada(s) da função g(x)=x e^{\sqrt{x}}.
Informações dadas: a função é g(x)=x e^{\sqrt{x}}. Observe que aparece \sqrt{x}, então a expressão faz sentido para x\ge 0. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; não resolvo ainda.

Passo 2

Relembrando as regras que precisaremos (explicação pedagógica, passo a passo):
  • Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui cada termo significa: u'(x) é a derivada de u em relação a x, e v(x) é apenas avaliada no ponto; e vice-versa.
  • Regra da cadeia para exponencial: se v(x)=e^{u(x)}, então
v'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando: a derivada de e^{(\cdot)} é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.
  • Derivada da raiz quadrada: escrevemos \sqrt{x}=x^{1/2}. Usando a regra de potências,
\frac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1},
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\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. (No x=0 a expressão 1/(2\sqrt{x}) não está escrita, mas veremos que o resultado final pode ter limite finito.)

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto em g(x)=x\cdot e^{\sqrt{x}}. Tome
u(x)=x,\qquad v(x)=e^{\sqrt{x}}.
Calculamos as derivadas individuais:
u'(x)=1.

Passo 4

Agora derivamos v(x)=e^{\sqrt{x}} aplicando regra da cadeia:
v'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Usando o resultado do Passo 2 para \frac{d}{dx}\sqrt{x} obtemos (para x>0)
v'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto (Passo 2) com u,u',v,v' encontrados:
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot e^{\sqrt{x}}+x\cdot\left(e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\right).

Passo 6

Fatoramos e^{\sqrt{x}} para simplificar:
g'(x)=e^{\sqrt{x}}\left(1+\frac{x}{2\sqrt{x}}\right).
Agora simplificamos a fração interna: para x>0 temos \dfrac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}. Assim
g'(x)=e^{\sqrt{x}}\left(1+\frac{\sqrt{x}}{2}\right).

Passo 7

Comentário sobre x=0: a expressão intermediária que continha 1/(2\sqrt{x}) aparenta divergir em 0, mas a forma final e^{\sqrt{x}}\bigl(1+\tfrac{\sqrt{x}}{2}\bigr) tem limite bem definido em x\to 0^+, que é e^{0}(1+0)=1. Portanto podemos definir a derivada em x=0 por continuidade e obter g'(0)=1. Em resumo a fórmula acima vale para x\ge 0 se entendermos o valor em 0 pelo limite.

Resposta

g'(x)=e^{\sqrt{x}}\left(1+\frac{\sqrt{x}}{2}\right)

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