Encontre as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a(s) derivada(s) da função
.
Informações dadas: a função é . Observe que aparece
, então a expressão faz sentido para
. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; não resolvo ainda.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Relembrando as regras que precisaremos (explicação pedagógica, passo a passo):
- Regra do produto: se
, então
Aqui cada termo significa:
é a derivada de
em relação a
, e
é apenas avaliada no ponto; e vice-versa.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
Explicando: a derivada de
é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.
- Derivada da raiz quadrada: escrevemos
. Usando a regra de potências,
logo
válido para
. (No
a expressão
não está escrita, mas veremos que o resultado final pode ter limite finito.)
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto em
. Tome
Calculamos as derivadas individuais:
Passo 4
Agora derivamos
aplicando regra da cadeia:
Usando o resultado do Passo 2 para
obtemos (para
)
Passo 5
Aplicando a regra do produto (Passo 2) com
encontrados:
Passo 6
Fatoramos
para simplificar:
Agora simplificamos a fração interna: para
temos
. Assim
Passo 7
Comentário sobre
: a expressão intermediária que continha
aparenta divergir em
, mas a forma final
tem limite bem definido em
, que é
. Portanto podemos definir a derivada em
por continuidade e obter
. Em resumo a fórmula acima vale para
se entendermos o valor em
pelo limite.