Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão contém uma base
que depende de e um expoente que também depende de . - Como estamos elevando
a um expoente real, precisamos que a base seja positiva para evitar valores complexos; assim o domínio natural para a diferenciação aqui é (porque quando ). - A técnica exigida é a derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo natural e diferenciar).
Passo 2
Explicação da técnica de derivação logarítmica (aulas rápidas, passo a passo):
- Quando temos uma função da forma
com , é muito conveniente tomar logaritmo natural:
- Então diferenciamos ambos os lados em relação a
. Usamos a regra da derivada do logaritmo: . - No lado direito usamos a regra do produto (se
e dependem de ):
- Depois isolamos
por . Como , podemos reescrever em termos da função original. - Essa técnica evita tentar aplicar regras de potência e exponenciação complicadas diretamente, e transforma o problema em derivar somas/ produtos e aplicar derivadas conhecidas (como de
, de , etc.).
Exemplo rápido para fixar (bem curto): se
, então
e
, logo
.
Passo 3
Aplicando a técnica à função dada.
- Primeiro note que
, onde definimos
Vamos primeiro achar
por derivação logarítmica e depois usar
.
Passo 4
Tomamos logaritmo de
:
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo,
. No lado direito usamos regra do produto entre
e
.
Passo a passo do lado direito:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é, pela regra da cadeia, .
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Simplificando a expressão obtida:
- O segundo termo
simplifica para .
Logo
Passo 6
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, temos
Passo 7
Agora voltamos a
. Como
, a derivada é
. Substituindo
da etapa anterior:
Fatorando
dentro do parênteses e cancelando com o
externo, obtemos a forma mais simples:
Lembre-se: tudo isso vale para
, que garante
e a função real bem definida.