Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
f(t)=2(\ln (t))^{t / 2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. A função dada é
f(t)=2(\ln(t))^{t/2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão contém uma base \ln(t) que depende de t e um expoente \tfrac{t}{2} que também depende de t.
  • Como estamos elevando \ln(t) a um expoente real, precisamos que a base seja positiva para evitar valores complexos; assim o domínio natural para a diferenciação aqui é t>1 (porque \ln(t)>0 quando t>1).
  • A técnica exigida é a derivação logarítmica (ou seja, tomar logaritmo natural e diferenciar).

Passo 2

Explicação da técnica de derivação logarítmica (aulas rápidas, passo a passo):
  • Quando temos uma função da forma y = u(t)^{v(t)} com u(t)>0, é muito conveniente tomar logaritmo natural:
\ln y = v(t)\,\ln(u(t)).
  • Então diferenciamos ambos os lados em relação a t. Usamos a regra da derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dt}\ln y = \dfrac{y'}{y}.
  • No lado direito usamos a regra do produto (se v e \ln u dependem de t):
\frac{y'}{y} = v'(t)\ln(u(t)) + v(t)\frac{u'(t)}{u(t)}.
  • Depois isolamos y' por y' = y\big(\text{lado direito}\big). Como y=u^{v}, podemos reescrever y' em termos da função original.
  • Essa técnica evita tentar aplicar regras de potência e exponenciação complicadas diretamente, e transforma o problema em derivar somas/ produtos e aplicar derivadas conhecidas (como de \ln, de t, etc.).
Exemplo rápido para fixar (bem curto): se h(t)=t^{t}, então \ln h = t\ln t e \dfrac{h'}{h} = 1\cdot\ln t + t\cdot\frac{1}{t} = \ln t + 1, logo h' = t^{t}(\ln t + 1).

Passo 3

Aplicando a técnica à função dada.
  • Primeiro note que f(t)=2\cdot g(t), onde definimos
g(t) = (\ln(t))^{t/2}.
Vamos primeiro achar g'(t) por derivação logarítmica e depois usar f'(t)=2g'(t).

Passo 4

Tomamos logaritmo de g:
\ln g(t) = \frac{t}{2}\,\ln\big(\ln(t)\big).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t. No lado esquerdo, \dfrac{d}{dt}\ln g(t) = \dfrac{g'(t)}{g(t)}. No lado direito usamos regra do produto entre \tfrac{t}{2} e \ln(\ln t).
Passo a passo do lado direito:
  • Derivada de \tfrac{t}{2} em relação a t é \tfrac{1}{2}.
  • Derivada de \ln(\ln t) em relação a t é, pela regra da cadeia, \dfrac{1}{\ln t}\cdot \dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{t\ln t}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{2}\ln(\ln t)\right) = \frac{1}{2}\ln(\ln t) + \frac{t}{2}\cdot\frac{1}{t\ln t}.

Passo 5

Simplificando a expressão obtida:
  • O segundo termo \dfrac{t}{2}\cdot\dfrac{1}{t\ln t} simplifica para \dfrac{1}{2\ln t}.
    Logo
\frac{g'(t)}{g(t)} = \frac{1}{2}\ln(\ln t) + \frac{1}{2\ln t}.

Passo 6

Isolamos g'(t) multiplicando ambos os lados por g(t):
g'(t) = g(t)\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t) + \frac{1}{2\ln t}\right).
Lembrando que g(t) = (\ln t)^{t/2}, temos
g'(t) = (\ln t)^{t/2}\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t) + \frac{1}{2\ln t}\right).

Passo 7

Agora voltamos a f(t). Como f(t)=2g(t), a derivada é f'(t)=2g'(t). Substituindo g'(t) da etapa anterior:
f'(t) = 2\cdot (\ln t)^{t/2}\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t) + \frac{1}{2\ln t}\right).
Fatorando \tfrac{1}{2} dentro do parênteses e cancelando com o 2 externo, obtemos a forma mais simples:
f'(t) = (\ln t)^{t/2}\left(\ln(\ln t) + \frac{1}{\ln t}\right).
Lembre-se: tudo isso vale para t>1, que garante \ln t>0 e a função real bem definida.

Resposta

\displaystyle f'(t) = (\ln t)^{t/2}\left(\ln(\ln t) + \frac{1}{\ln t}\right),\quad t>1

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