Encontre as derivadas das funções abaixo:
h(x)=3 x^{4}-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=3 x^{4}-2 x e pede para encontrar a derivada dessa função.

Passo 2

O que é derivada (resumão rápido e útil para prova): a derivada de uma função em cada ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Formalmente, a derivada de h é
h'(x)=\lim_{h\to0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h},
quando esse limite existe. Na prática para resolver exercícios usamos regras que tornam o cálculo mecânico e rápido: a regra da soma/diferença, a regra do fator constante e a regra do poder (power rule). Vou escrevê-las e explicar cada uma.

Passo 3

Regra da soma/diferença: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se f(x)=u(x)+v(x) então
f'(x)=u'(x)+v'(x).
Regra do fator constante: se f(x)=c\cdot u(x) com c constante, então
f'(x)=c\cdot u'(x).
Regra do poder (caso mais usado em provas): para u(x)=x^{n} com n inteiro positivo,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Rápida justificativa (intuição que basta para prova): usar o binômio de Newton em (x+h)^n:
(x+h)^n = x^n + n x^{n-1}h + \text{termos com }h^2.
Dividindo por h e fazendo h\to0, só sobra n x^{n-1}.

Passo 4

Agora aplicamos as regras termo a termo na função dada. Primeiro, separe os termos:
h(x)=3x^{4} - 2x.
Pelo que vimos, derivamos cada termo e depois subtraímos (regra da soma/diferença).

Passo 5

Derivada do primeiro termo 3x^{4}: uso regra do fator constante com c=3 e a regra do poder para x^{4}.
\frac{d}{dx}(3x^{4}) = 3\cdot\frac{d}{dx}x^{4} = 3\cdot(4x^{3}) = 12x^{3}.
Derivada do segundo termo -2x: aqui -2 é constante e \frac{d}{dx}x=1, logo
\frac{d}{dx}(-2x) = -2\cdot\frac{d}{dx}x = -2\cdot 1 = -2.

Passo 6

Juntando os resultados (soma/diferença das derivadas), obtemos
h'(x)=12x^{3}-2.

Resposta

h'(x)=12x^{3}-2

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