Encontre as derivadas das funções abaixo:
\quad f(x)=\left(x^{2}\right)(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \;f(x)=\left(x^{2}\right)(3x).\n
Informações dadas: a função é escrita como produto de duas expressões — \;x^{2} e \;3x — ou, equivalentemente, é um monômio que pode ser simplificado. A tarefa é calcular \;f'(x), a derivada de \;f em relação a \;x.

Passo 2

Primeira ação prática: simplificar a expressão antes de derivar (é geralmente a forma mais rápida quando dá para simplificar). Multiplicamos os termos:
f(x) = \left(x^{2}\right)(3x) = 3x^{3}.
Expliquei o que fiz: multipliquei os coeficientes ( 1\cdot 3=3) e somei os expoentes de x ( 2+1=3) porque \;x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}.

Passo 3

Agora uso a regra de potência (power rule) para derivar um monômio do tipo \;x^{n}. A regra diz:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
onde \;n é um número real (aqui é inteiro). Intuição rápida: ao derivar multiplicamos pelo expoente e reduzimos o expoente em 1 — é uma fórmula direta que você deve decorar e saber aplicar em prova.

Passo 4

Aplicando a regra de potência ao nosso caso \;3x^{3}. A constante 3 sai como multiplicador e derivamos \;x^{3}:
f'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3\cdot(3x^{2})=9x^{2}.
Aqui eu usei que \;\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 5

Vou mostrar um método alternativo (útil caso você não veja fácil a simplificação): regra do produto. Ela diz que, para \;f(x)=u(x)\,v(x),
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto é, derivamos uma função por vez e somamos os produtos apropriados.

Passo 6

Aplicando a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=3x:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=3.
Logo
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)= (2x)(3x)+(x^{2})(3)=6x^{2}+3x^{2}=9x^{2}.
Viu? Dá exatamente o mesmo resultado que simplificar primeiro.

Passo 7

Resumo do raciocínio para a prova: se a função é produto de potências de x, primeiro tente simplificar multiplicando coeficientes e somando expoentes; depois aplique a regra de potência. Se não der para simplificar, use a regra do produto. Ambas as abordagens são rápidas e seguras.

Resposta

\;f'(x)=9x^{2}

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