Encontre a primitiva e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma primitiva de
. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais.
Passo 2
Fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
e igualamos numeradores:
Comparando coeficientes obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: de
2B=-2 vem
B=-1 . Substituindo em
2A+B=3 dá
2A-1=3 , logo
A=2 . Finalmente,
C=5-A=3 .
Passo 5
Reescrevemos a integral como soma de termos simples:
Passo 6
Integramos termo a termo:
-
,integral2xdx=2ln|x| -
,integrall(-x^-2r)dx=1/x -
integral3x+2dx=3ln|x+2|
Resposta
2\ln|x|+3\ln|x+2|+\frac{1}{x}+C