Encontre a primitiva e justifique.
integral 5 x^2+3 x-2x^3+2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva de integral 5x^2+3x-2x^3+2x^2,dx. O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
x^3+2x^2=x^2(x+2)
5x^2+3x-2x^2(x+2)=Ax+Bx^2+Cx+2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^2(x+2) e igualamos numeradores:
5x^2+3x-2=(A+C)x^2+(2A+B)x+2B
Comparando coeficientes obtemos o sistema
A+C=5, 2A+B=3, 2B=-2

Passo 4

Resolvendo o sistema: de 2B=-2 vem B=-1. Substituindo em 2A+B=3 2A-1=3, logo A=2. Finalmente, C=5-A=3.

Passo 5

Reescrevemos a integral como soma de termos simples:
integrall(2x-1x^2+3x+2r)dx

Passo 6

Integramos termo a termo:
  • integral2xdx=2ln|x|,
  • integrall(-x^-2r)dx=1/x,
  • integral3x+2dx=3ln|x+2|

Resposta

2\ln|x|+3\ln|x+2|+\frac{1}{x}+C

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