Encontre as derivadas das funções tangente, cotangente, secante e cossecante. (Você não precisa memorizar essas fórmulas, embora elas sejam necessárias uma vez; se você expressar suas respostas da maneira correta, elas serão simples e de alguma forma simétricas.)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de tan x, cot x, sec x e csc x. Para isso vamos usar a regra do quociente em tan x e cot x (já que tan x=sin xcos x e cot x=cos xsin x) e a regra da cadeia em sec x=(cos x)^-1 e csc x=(sin x)^-1.

Passo 2

Para tan x, escrevemos
tan x = sin xcos x
e aplicamos a regra do quociente:
(tan x)' = (sin x)' ,cos x - sin x,(cos x)'cos^2 x = cos xcdotcos x - sin xcdot(-sin x)cos^2 x = cos^2 x + sin^2 xcos^2 x = 1cos^2 x = sec^2 x

Passo 3

Para cot x, escrevemos
cot x = cos xsin x
e aplicamos a regra do quociente:
(cot x)' = (cos x)' ,sin x - cos x,(sin x)'sin^2 x = -sin xcdotsin x - cos xcdotcos xsin^2 x = -sin^2 x + cos^2 xsin^2 x = -1sin^2 x = -csc^2 x

Passo 4

Para sec x, usamos a regra da cadeia em sec x=(cos x)^-1:
(sec x)' = -1cdot(cos x)^-2cdot(cos x)' = -(cos x)^-2cdot(-sin x) = sin xcos^2 x = 1cos x,sin xcos x = sec xtan x

Passo 5

Para csc x, usamos a regra da cadeia em csc x=(sin x)^-1:
(csc x)' = -1cdot(sin x)^-2cdot(sin x)' = -(sin x)^-2cdotcos x = -cos xsin^2 x = -1sin x,cos xsin x = -csc xcot x

Resposta

ddxtan x = sec^2 x
ddxcot x = -csc^2 x
ddxsec x = sec xtan x
ddxcsc x = -csc xcot x

Exercícios relacionados