Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x=x^2-1y^2+1, y(-1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x^2 - 1y^2 + 1
com condição inicial y(-1)=1. Trata-se de uma EDO separável, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (y^2+1),dx:
(y^2 + 1),dy = (x^2 - 1),dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral (y^2 + 1),dy = integral (x^2 - 1),dx
y^33 + y = x^33 - x + C
Multiplicando a relação por 3, obtemos
y^3 + 3y = x^3 - 3x + C'

Passo 4

Use a condição inicial y(-1)=1. Substituindo x=-1 e y=1 na última expressão:
1^3 + 3cdot1 = (-1)^3 - 3(-1) + C' Longrightarrow 4 = -1 + 3 + C' Longrightarrow C' = 2

Passo 5

Logo, a solução que satisfaz y(-1)=1 é dada implicitamente por
y^3 + 3y = x^3 - 3x + 2

Resposta

y^3 + 3y = x^3 - 3x + 2

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