Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
t d yd t+(t+1) y=e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
t,dydt + (t+1),y = e^2t,
que é uma equação linear não homogênea. Para resolver, precisamos colocá-la na forma padrão
dydt + P(t),y = Q(t)
e então usar um fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por t (assumindo tneq0), obtemos a forma padrão
dydt + t+1t,y = e^2tt

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = exp!l(integral t+1t,dtr) = exp!l(integral 1,dt + integral 1t,dtr) = exp!l(t + ln|t|r) = t,e^t

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t,e^t. O lado esquerdo fica a derivada do produto:
ddtl(t,e^t,yr) = t,e^tdydt + (t+1)e^t,y,
e o lado direito torna-se
t,e^tcdote^2tt = e^3t
Logo temos
ddtl(t,e^t,yr) = e^3t

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t,e^t,y = integral e^3t,dt = 13,e^3t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y = 1t,e^tl(13e^3t + Cr) = e^2t3t + C,e^-tt, tneq0

Resposta

boxedy(t) = e^2t3t + C,e^-tt, tneq0

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