Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
f(x)=(\cos (t))^{t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. A função fornecida é f(x)=(\cos (t))^{t}. Observações importantes e informações dadas:
  • A função efetivamente depende da variável t; vou tratar a função como f(t)=(\cos t)^{t}.
  • O objetivo é calcular f'(t) (a derivada em relação a t) usando a técnica de derivação logarítmica.
  • Para aplicar \ln à base \cos t sem problemas, precisamos que \cos t>0. Logo, durante o processo assumimos t em intervalos onde \cos t>0, isto é t\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right). Em pontos onde \cos t\le 0 a expressão (\cos t)^t exige cuidados (ramos complexos ou expoente racional), então não tratamos esses casos aqui.

Passo 2

Primeiro passo prático da derivação logarítmica: vou definir y=f(t) para ficar mais simples e então aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Coloco:
y=(\cos t)^{t}.
Agora aplico \ln em ambos os lados. Uso a identidade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a. Assim:
\ln y = t\ln(\cos t).
Explicação didática: a vantagem desse passo é transformar a potência com expoente variável em um produto t\cdot\ln(\cos t), que é mais fácil de diferenciar.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a t. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln y(t) é \dfrac{y'(t)}{y(t)}. Escrevendo de forma curta:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big).
Explicação da regra da cadeia aqui: se h(t)=\ln(y(t)) então h'(t)=\frac{1}{y(t)}\cdot y'(t) porque derivada de \ln u é u'/u.

Passo 4

Agora calculamos a derivada do lado direito \dfrac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big). Trata-se de um produto entre t e \ln(\cos t), então usamos a regra do produto: se u(t)v(t) então (uv)'=u'v+uv'. Aplicando:
\frac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big) = 1\cdot\ln(\cos t) + t\cdot\frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big).
Agora calculamos \dfrac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big). Usamos a regra da cadeia: derivada de \ln(u) é u'/u. Tomando u(t)=\cos t temos u'(t)=-\sin t. Logo
\frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big)=\frac{-\sin t}{\cos t}=-\tan t.
Substituindo de volta:
\frac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big)=\ln(\cos t) + t(-\tan t)=\ln(\cos t)-t\tan t.

Passo 5

Juntando com o passo 3, obtemos a equação
\frac{y'}{y}=\ln(\cos t)-t\tan t.
Para isolar y' multiplicamos pelos dois lados por y:
y' = y\big(\ln(\cos t)-t\tan t\big).
Finalmente substituímos y=(\cos t)^{t} de volta:
y'=(\cos t)^{t}\big(\ln(\cos t)-t\tan t\big).
Explicação final: esse é o resultado direto da derivação logarítmica. A forma é muito parecida com os exemplos padrão: por exemplo, para x^x a técnica dá (x^x)'=x^x(\ln x+1); aqui a presença de \cos t traz o termo -t\tan t vindo da derivada de \ln(\cos t).

Passo 6

Breve comentário prático para a prova:
  • Sempre que tiver uma função do tipo (g(t))^{h(t)} com expoente variável, aplicar \ln e usar \ln(g)h é o caminho mais rápido.
  • Lembre-se de verificar domínio (aqui exigimos \cos t>0 para usar \ln(\cos t) sem ambiguidades).
  • Se precisar, pode reescrever \tan t como \dfrac{\sin t}{\cos t} para formas alternativas.

Resposta

f'(t)=(\cos t)^{t}\big(\ln(\cos t)-t\tan t\big)

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