Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. A função fornecida é
. Observações importantes e informações dadas:
- A função efetivamente depende da variável
; vou tratar a função como . - O objetivo é calcular
(a derivada em relação a ) usando a técnica de derivação logarítmica. - Para aplicar
à base sem problemas, precisamos que . Logo, durante o processo assumimos em intervalos onde , isto é . Em pontos onde a expressão exige cuidados (ramos complexos ou expoente racional), então não tratamos esses casos aqui.
Passo 2
Primeiro passo prático da derivação logarítmica: vou definir
para ficar mais simples e então aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Coloco:
Agora aplico
em ambos os lados. Uso a identidade do logaritmo
. Assim:
Explicação didática: a vantagem desse passo é transformar a potência com expoente variável em um produto
, que é mais fácil de diferenciar.
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Escrevendo de forma curta:
Explicação da regra da cadeia aqui: se
então
porque derivada de
é
.
Passo 4
Agora calculamos a derivada do lado direito
. Trata-se de um produto entre
e
, então usamos a regra do produto: se
então
. Aplicando:
Agora calculamos
. Usamos a regra da cadeia: derivada de
é
. Tomando
temos
. Logo
Substituindo de volta:
Passo 5
Juntando com o passo 3, obtemos a equação
Para isolar
multiplicamos pelos dois lados por
:
Finalmente substituímos
de volta:
Explicação final: esse é o resultado direto da derivação logarítmica. A forma é muito parecida com os exemplos padrão: por exemplo, para
a técnica dá
; aqui a presença de
traz o termo
vindo da derivada de
.
Passo 6
Breve comentário prático para a prova:
- Sempre que tiver uma função do tipo
com expoente variável, aplicar e usar é o caminho mais rápido. - Lembre-se de verificar domínio (aqui exigimos
para usar sem ambiguidades). - Se precisar, pode reescrever
como para formas alternativas.