Suponha que uma função
satisfaça as seguintes condições para quaisquer valores reais de
e
:
i.
.
ii.
, onde
.
i.
ii.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida para todos os reais e fornece duas condições válidas para quaisquer
reais:
-
-
, onde
O que se pede (implícito): determinar explicitamente
para todo
usando as duas informações acima.
Passo 2
Mostramos algumas propriedades básicas que decorrem imediatamente da condição (i).
a) Valor em zero. Tomando
em
obtemos
Como isso vale para todo
, em particular para algum
com
(vamos provar que
não é identicamente zero mais adiante), segue
. Portanto
b) Inversos. Tomando
em (i) temos
logo
Essas duas identidades são úteis e fáceis de lembrar.
Passo 3
A partir da condição (ii) mostramos que
é contínua em
. De fato,
e como
, segue que
. Em particular
, ou seja
é contínua em
.
Agora mostramos continuidade em qualquer ponto
. Use (i):
Se
então
(continuidade em
), portanto
. Assim
é contínua em todo
. Conclusão:
Passo 4
Mostramos que
para todo
. Primeiro, note que para qualquer
vale
Logo
para todo
. Se existisse
tal que
, então por (i) para qualquer
teríamos
, o que contradiz
. Portanto não existe
com
. Assim
Como
é positiva e contínua, o logaritmo natural
está bem definido e é contínuo em todo
.
Passo 5
Definimos a função
Usando (i) obtemos, para quaisquer
,
Portanto
satisfaz a equação aditiva
Além disso
é contínua (pois
é contínua e
), e sabemos que toda solução contínua da equação aditiva é linear: existe constante
tal que
(Essa é uma propriedade clássica: a função aditiva contínua é da forma
.)
Passo 6
Agora precisamos determinar o valor de
. Podemos usar a informação local dada em (ii). Usando o desenvolvimento para
,
Usamos o limite conhecido
. Tomando
(observe que
quando
porque
), obtemos
pois
. Logo
Mas como
para todo
, temos
. Portanto
Passo 7
Voltando de
para
, usando
segue
Verificamos que esta função satisfaz ambas as condições iniciais: (i)
e (ii)
com
e
.