Suponha que uma função f satisfaça as seguintes condições para quaisquer valores reais de x e y :
i. f(x+y)=f(x) \cdot f(y).
ii. f(x)=1+x g(x), onde \lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1.

Passo 1

O enunciado dá uma função f definida para todos os reais e fornece duas condições válidas para quaisquer x,y reais:
  1. \;f(x+y)=f(x)\cdot f(y).
  2. \;f(x)=1+x\,g(x), onde \displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)=1.
O que se pede (implícito): determinar explicitamente f(x) para todo x\in\mathbb{R} usando as duas informações acima.

Passo 2

Mostramos algumas propriedades básicas que decorrem imediatamente da condição (i).
a) Valor em zero. Tomando y=0 em \;f(x+y)=f(x)f(y) obtemos
f(x)=f(x)f(0).
Como isso vale para todo x, em particular para algum x com f(x)\neq 0 (vamos provar que f não é identicamente zero mais adiante), segue f(0)=1. Portanto
\boxed{f(0)=1.}
b) Inversos. Tomando y=-x em (i) temos
f(0)=f(x)f(-x)=1,
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\boxed{f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}.}
Essas duas identidades são úteis e fáceis de lembrar.

Passo 3

A partir da condição (ii) mostramos que f é contínua em 0. De fato,
\frac{f(x)-1}{x}=g(x),
e como \displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=1, segue que \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=1. Em particular \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0), ou seja f é contínua em 0.
Agora mostramos continuidade em qualquer ponto a. Use (i):
f(a+h)=f(a)f(h).
Se h\to0 então f(h)\to f(0)=1 (continuidade em 0), portanto f(a+h)\to f(a)\cdot 1=f(a). Assim f é contínua em todo a. Conclusão:
\boxed{f\text{ é contínua em }\mathbb{R}.}éí

Passo 4

Mostramos que f(x)>0 para todo x. Primeiro, note que para qualquer x vale
f(x)=f\!\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{2}\right)=f\!\left(\tfrac{x}{2}\right)^2\ge 0.
Logo f(x)\ge 0 para todo x. Se existisse a tal que f(a)=0, então por (i) para qualquer y teríamos f(y)=f(a+y)=f(a)f(y)=0, o que contradiz f(0)=1. Portanto não existe a com f(a)=0. Assim
\boxed{f(x)>0\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.}
Como f é positiva e contínua, o logaritmo natural \ln f(x) está bem definido e é contínuo em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Definimos a função
h(x)=\ln f(x).
Usando (i) obtemos, para quaisquer x,y,
h(x+y)=\ln f(x+y)=\ln\big(f(x)f(y)\big)=\ln f(x)+\ln f(y)=h(x)+h(y).
Portanto h satisfaz a equação aditiva
\boxed{h(x+y)=h(x)+h(y).}
Além disso h é contínua (pois f é contínua e f>0), e sabemos que toda solução contínua da equação aditiva é linear: existe constante c tal que
\boxed{h(x)=c x\text{ para todo }x.}
(Essa é uma propriedade clássica: a função aditiva contínua é da forma h(x)=h(1)\,x.)

Passo 6

Agora precisamos determinar o valor de c. Podemos usar a informação local dada em (ii). Usando o desenvolvimento para x\to 0,
f(x)=1+x g(x)\quad\Longrightarrow\quad \ln f(x)=\ln\big(1+x g(x)\big).
Usamos o limite conhecido \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Tomando u=x g(x) (observe que u\to0 quando x\to0 porque xg(x)\to 0), obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\ln f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x g(x))}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x g(x))}{x g(x)}\cdot g(x)=1\cdot 1=1,
pois \displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=1. Logo
\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=1.
Mas como h(x)=c x para todo x, temos c=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=1. Portanto
\boxed{h(x)=x\text{ para todo }x.}

Passo 7

Voltando de h para f, usando h(x)=\ln f(x)=x segue
\ln f(x)=x\quad\Longrightarrow\quad f(x)=\mathrm{e}^{x}.
Verificamos que esta função satisfaz ambas as condições iniciais: (i) \mathrm{e}^{x+y}=\mathrm{e}^x\mathrm{e}^y e (ii) \mathrm{e}^{x}=1+x g(x) com g(x)=(\mathrm{e}^{x}-1)/x e \lim_{x\to0}g(x)=1.

Resposta

\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}

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