Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando a área descrita em cada item abaixo é rotacionada em torno do eixo x.
Área da região contornada pelas curvas y=x^3 / 2, x=1 e x=3.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y=x^3/2, pelas retas verticais x=1 e x=3 e pelo eixo x, em torno do eixo x. Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos permite obter o volume como V=piintegrala^b[f(x)]^2,dx.

Passo 2

A ideia do método dos discos é dividir o sólido em fatias perpendiculares ao eixo x. Cada fatia tem espessura dx e raio igual a y=f(x), então o volume de uma fatia é dV=pi[f(x)]^2,dx. Somando (integrando) de x=1 até x=3 obtemos o volume total.

Passo 3

Aqui temos f(x)=x^3/2, logo o raio ao quadrado é (x^3/2)^2=x^3. Assim a integral de volume fica:
V=piintegral1^3x^3,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral x^3,dx=x^44
Substituindo os limites de 1 a 3, temos:
V=pil[x^44r]1^3=pil(3^44-1^44r)=pi804=20pi

Resposta

20pi

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