Encontre as derivadas parciais fx e fy da função
f(x, y)=x^3-y^2+3 x^2+4 y-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, precisamos encontrar as derivadas parciais $ f_{x} $ e $ f_{y} $ da função dada:
fx
Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis independentes. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_{x} $. Isso significa que vamos derivar a função $ f(x, y) $ tratando $ y $ como uma constante.
A função é:
f
Ao derivar em relação a $ x $, os termos que envolvem apenas $ y $ vão se tornar constantes e, portanto, sua derivada será zero.

Passo 3

Vamos derivar cada termo em relação a $ x $:
  1. Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $:
x
  1. Derivada de $ 3x^{2} $ em relação a $ x $:
x^3
  1. Derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ x $:
x
  1. Derivada de $ 4y $ em relação a $ x $:
ddxx^3 = 3x^2
  1. Derivada de $ -6 $ em relação a $ x $:
3x^2

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas encontradas:
fx = 3x^2 + 6x + 0 + 0 + 0 = 3x^2 + 6x

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y} $. Isso significa que vamos derivar a função $ f(x, y) $ tratando $ x $ como uma constante.
Mais uma vez, a função é:
f
Ao derivar em relação a $ y $, os termos que envolvem apenas $ x $ vão se tornar constantes e, portanto, sua derivada será zero.

Passo 6

Vamos derivar cada termo em relação a $ y $:
  1. Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ y $:
y
  1. Derivada de $ 3x^{2} $ em relação a $ y $:
x^3
  1. Derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ y $:
y
  1. Derivada de $ 4y $ em relação a $ y $:
ddyx^3 = 0
  1. Derivada de $ -6 $ em relação a $ y $:
3x^2

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas encontradas:
fy = 0 + 0 - 2y + 4 + 0 = -2y + 4

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^{3} - y^{2} + 3x^{2} + 4y - 6 $ são:
f(x, y) = x^3 - y^2 + 3x^2 + 4y - 6
fx = 3x^2 + 6x

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