Encontre as derivadas parciais
e
da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, precisamos encontrar as derivadas parciais $ f_{x} $ e $ f_{y} $ da função dada:
Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a cada uma de suas variáveis independentes. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ f_{x} $. Isso significa que vamos derivar a função $ f(x, y) $ tratando $ y $ como uma constante.
A função é:
Ao derivar em relação a $ x $, os termos que envolvem apenas $ y $ vão se tornar constantes e, portanto, sua derivada será zero.
Passo 3
Vamos derivar cada termo em relação a $ x $:
- Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 3x^{2} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ 4y $ em relação a $ x $:
- Derivada de $ -6 $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, somamos todas as derivadas encontradas:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ f_{y} $. Isso significa que vamos derivar a função $ f(x, y) $ tratando $ x $ como uma constante.
Mais uma vez, a função é:
Ao derivar em relação a $ y $, os termos que envolvem apenas $ x $ vão se tornar constantes e, portanto, sua derivada será zero.
Passo 6
Vamos derivar cada termo em relação a $ y $:
- Derivada de $ x^{3} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ 3x^{2} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -y^{2} $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ 4y $ em relação a $ y $:
- Derivada de $ -6 $ em relação a $ y $:
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas encontradas:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = x^{3} - y^{2} + 3x^{2} + 4y - 6 $ são: