Encontre as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=e^yx cdot ln (x^2y), partial fpartial y(x, y)=e^yx[1x ln (x^2y)-1y].

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada parcial de f(x,y)=e^yxcdotlnl(x^2yr) em relação a y. Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e propriedades de exp e ln.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto:
partial fpartial y=partialpartial yl(e^tfracyxr)cdotlnl(x^2yr)+e^tfracyxcdotpartialpartial yl[lnl(x^2yr)r]
Calculamos partialy(e^tfracyx) por regra da cadeia:
partialpartial yl(e^tfracyxr)=e^tfracyxcdotpartialpartial yl(tfracyxr)=e^tfracyxcdot1x
Agora partialylnl(x^2yr). Como ln(x^2y)=2ln x-ln y,
partialpartial ylnl(x^2yr)=0-1y=-1y
Substituindo na regra do produto e colocando em evidência e^tfracyx:
partial fpartial y=e^tfracyxl(1xlnl(x^2yr)-1yr)

Resposta

partial fpartial y(x,y)=e^tfracyxl[1xlnl(x^2yr)-1yr]

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