Encontre as derivadas parciais indicadas.
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação a
da função
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Deve-se calcular
. - A expressão envolve
, portanto o domínio útil (onde a função e as derivadas estão definidas) exige (ou seja, ) para evitar divisão por zero ou raiz de número não positivo.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): é conveniente reescrever a função como produto para aplicar a regra do produto e a regra da cadeia com clareza. Escreve-se
Aqui vamos tratar
como constante ao derivar em relação a
. Usaremos:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Regra do poder:
.
Passo 3
Identificar as funções do produto e calcular suas derivadas parciais em relação a
.
Defina
Defina
Ao derivar em relação a
:
- Para
: , pois é constante e . - Para
: vamos aplicar a regra da cadeia com a forma .
Passo 4
Calcular
passo a passo usando regra do poder + cadeia:
Aplicando a regra do poder com
e
,
Agora
(pois
é constante). Substituindo:
Passo 5
Aplicar a regra do produto para obter
:
Substituindo os resultados anteriores:
Ou seja,
Passo 6
Colocar em um único quociente simplificado. Usar denominador comum
:
Assim,
Simplificando o numerador:
Portanto
Lembrete final: essa expressão é válida quando
(domínio da função original).