Encontre as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=\frac{x+y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y).

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a y da função
f(x,y)=\frac{x+y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \;f(x,y)=\dfrac{x+y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.
  • Deve-se calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • A expressão envolve \sqrt{y^{2}-x^{2}}, portanto o domínio útil (onde a função e as derivadas estão definidas) exige y^{2}-x^{2}>0 (ou seja, |y|>|x|) para evitar divisão por zero ou raiz de número não positivo.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda): é conveniente reescrever a função como produto para aplicar a regra do produto e a regra da cadeia com clareza. Escreve-se
f(x,y)=(x+y)\,(y^{2}-x^{2})^{-1/2}.
Aqui vamos tratar x como constante ao derivar em relação a y. Usaremos:
  • Regra do produto: se f(y)=u(y)\,v(y) então f'(y)=u'(y)v(y)+u(y)v'(y).
  • Regra da cadeia: se v(y)=g(h(y)) então v'(y)=g'(h(y))\cdot h'(y).
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dy}\big(h(y)^{\alpha}\big)=\alpha\,h(y)^{\alpha-1}\,h'(y).

Passo 3

Identificar as funções do produto e calcular suas derivadas parciais em relação a y.
Defina
u(x,y)=x+y,\qquad v(x,y)=(y^{2}-x^{2})^{-1/2}.
Ao derivar em relação a y:
  • Para u: \dfrac{\partial u}{\partial y}=1, pois x é constante e \dfrac{d}{dy}(x+y)=0+1.
  • Para v: vamos aplicar a regra da cadeia com a forma v=(y^{2}-x^{2})^{\,-1/2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y} passo a passo usando regra do poder + cadeia:
v(y)=(y^{2}-x^{2})^{-1/2}.
Aplicando a regra do poder com \alpha=-\tfrac{1}{2} e h(y)=y^{2}-x^{2},
\frac{\partial v}{\partial y} = -\tfrac{1}{2}(y^{2}-x^{2})^{-3/2}\cdot \frac{d}{dy}(y^{2}-x^{2}).
Agora \dfrac{d}{dy}(y^{2}-x^{2})=2y (pois x^{2} é constante). Substituindo:
\frac{\partial v}{\partial y} = -\tfrac{1}{2}(y^{2}-x^{2})^{-3/2}\cdot 2y = -y\,(y^{2}-x^{2})^{-3/2}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo os resultados anteriores:
\frac{\partial f}{\partial y} = 1\cdot (y^{2}-x^{2})^{-1/2} + (x+y)\cdot\big(-y\,(y^{2}-x^{2})^{-3/2}\big).
Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial y} = (y^{2}-x^{2})^{-1/2} - y(x+y)(y^{2}-x^{2})^{-3/2}.

Passo 6

Colocar em um único quociente simplificado. Usar denominador comum (y^{2}-x^{2})^{3/2}:
(y^{2}-x^{2})^{-1/2}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}}.
Assim,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{2}-x^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}} - \frac{y(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}} = \frac{y^{2}-x^{2}-y(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}}.
Simplificando o numerador:
y^{2}-x^{2}-y(x+y)=y^{2}-x^{2}-xy-y^{2}=-x^{2}-xy=-x(x+y).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{x(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}}.
Lembrete final: essa expressão é válida quando y^{2}-x^{2}>0 (domínio da função original).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{x(x+y)}{(y^{2}-x^{2})^{3/2}}

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