Encontre as derivadas parciais indicadas.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, isto é
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Deve ser calculada
.
Passo 2
O que significa
: é a taxa de variação de
quando só alteramos
e mantemos
fixo. Formalmente, em um ponto
,
Intuição simples: tratar
como uma constante e derivar como se
fosse uma função de uma só variável
.
Passo 3
Regras que usaremos (explicadas de forma prática):
- A derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais:
- Constantes multiplicativas saem da operação de derivação:
onde é constante (pode ser número ou expressão que não dependa de ). - Como
é tratado como constante aqui, e . - Se uma parcela é função somente de
(por exemplo ), sua derivada parcial em relação a é .
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo na função
:
-
Para o termo
: aqui e são constantes em relação a . Logo -
Para o termo
: é uma função linear de , então -
Para o termo
: não depende de , é constante quando derivamos por , então
Somando as três contribuições:
Passo 5
Cheque rápido pelo limite (só para verificação da ideia): calcule
Simplificando numerador:
Dividindo por
e tomando o limite
dá
, confirmando o resultado anterior.