Encontre as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=3 x y+6 x-y^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}(x, y).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=3xy+6x-y^{2} e pede para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=3xy+6x-y^{2}.
  • Deve ser calculada \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).

Passo 2

O que significa \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y): é a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. Formalmente, em um ponto (x,y),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Intuição simples: tratar y como uma constante e derivar como se f fosse uma função de uma só variável x.

Passo 3

Regras que usaremos (explicadas de forma prática):
  • A derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais: \frac{\partial}{\partial x}\big( u+v+w \big)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial x}.
  • Constantes multiplicativas saem da operação de derivação: \frac{\partial}{\partial x}\big(c\cdot g(x,y)\big)=c\cdot\frac{\partial g}{\partial x}(x,y),onde c é constante (pode ser número ou expressão que não dependa de x).
  • Como y é tratado como constante aqui, \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • Se uma parcela é função somente de y (por exemplo -y^{2}), sua derivada parcial em relação a x é 0.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo na função f(x,y)=3xy+6x-y^{2}:
  • Para o termo 3xy: aqui 3 e y são constantes em relação a x. Logo
    \frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x)=3y\cdot 1=3y.
  • Para o termo 6x: é uma função linear de x, então
    \frac{\partial}{\partial x}(6x)=6\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x)=6\cdot 1=6.
  • Para o termo -y^{2}: não depende de x, é constante quando derivamos por x, então
    \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0.
Somando as três contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3y+6+0=3y+6.

Passo 5

Cheque rápido pelo limite (só para verificação da ideia): calcule
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{3(x+h)y+6(x+h)-y^{2}-(3xy+6x-y^{2})}{h}.
Simplificando numerador:
3xy+3hy+6x+6h-y^{2}-3xy-6x+y^{2}=3hy+6h=h(3y+6).
Dividindo por h e tomando o limite h\to0 3y+6, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3y+6

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